(Reginaldo)
(a) Resolva o problema de valor inicial:
l (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
(b) Qual o intervalo de validade da solução?
(c) Qual o limite de y(x) quando x tende a +infty. O limite depende de y0 ?

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem com condição inicial em x=5:
(x^2-9),y'+x,y=0, y(5)=y0
É uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevemos em forma separável dividindo por (x^2-9),y (supondo yneq0):
y'y=-xx^2-9

Passo 3

Integramos ambos os lados em x:
integral y'y,dx=integral -xx^2-9,dx Longrightarrow ln|y|=-tfrac12ln|x^2-9|+C

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral:
|y|=e^C,(x^2-9)^-tfrac12 Longrightarrow y(x)=K,(x^2-9)^-tfrac12,
onde K é constante arbitrária.

Passo 5

Usando y(5)=y0, temos raiz5^2-9=raiz16=4, logo
y0=Kcdot 4^-1 Longrightarrow K=4,y0
Assim
y(x)=4,y0raizx^2-9

Passo 6

O coeficiente x^2-9 não pode ser zero, e como x=5 está em (3,infty), o intervalo de validade é
(3,infty)

Passo 7

Para xto+infty,
y(x)=4,y0raizx^2-9sim4,y0xlongrightarrow0
Portanto limxto+inftyy(x)=0, valor que não depende de y0 (exceto pelo fato de ser nulo para qualquer y0 finito).

Resposta

(a) y(x)=4,y0raizx^2-9
(b) Intervalo de validade: (3,infty)
(c) limxto+inftyy(x)=0, que independe de y0

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