Determine a equação diferencial linear utilizando fator integrante.
Passo 1
A equação dada é
. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
, com
e
. Para resolver, vamos usar o fator integrante.
Passo 2
O fator integrante
é dado por
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação original por
. Assim obtemos
Passo 4
Passo 5
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
Passo 6
Passo 7
Logo podemos reescrever a equação como
Passo 8
Passo 9
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 10
Passo 11
Para calcular
fazemos integração por partes. Seja
e
. Então
Passo 12
Passo 13
Isso dá
Passo 14
Passo 15
Substituindo de volta em
, temos
Passo 16
Passo 17
Por fim, isolamos
:
Passo 18
Passo 19
Esse é o resultado geral. A integral
não tem primitiva elementar (fica em termos de função erro), então deixamos indicada.