Determine a equação diferencial linear utilizando fator integrante.
d yd x+2 x y=x^2

Passo 1

A equação dada é dydx+2xy=x^2. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma y'+P(x)y=Q(x), com P(x)=2x e Q(x)=x^2. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é dado por

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação original por mu(x)=e^x^2. Assim obtemos

Passo 4

e^x^2dydx+2x,e^x^2y = x^2e^x^2

Passo 5

O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^x^2y. De fato,

Passo 6

ddxl(e^x^2yr)=e^x^2dydx+2x,e^x^2y

Passo 7

Logo podemos reescrever a equação como

Passo 8

ddxl(e^x^2yr)=x^2e^x^2

Passo 9

Agora integramos ambos os lados em relação a x:

Passo 10

e^x^2y=integral x^2e^x^2,dx + C

Passo 11

Para calcular integral x^2e^x^2,dx fazemos integração por partes. Seja u=x e dv=x e^x^2dx. Então

Passo 12

du=dx, v=e^x^22

Passo 13

Isso dá

Passo 14

integral x^2e^x^2dx = xcdote^x^22 - integrale^x^22,dx = x e^x^22 - 12integral e^x^2,dx

Passo 15

Substituindo de volta em e^x^2y, temos

Passo 16

e^x^2y = x e^x^22 - 12integral e^x^2dx + C

Passo 17

Por fim, isolamos y:

Passo 18

y = e^-x^2l(x e^x^22 - 12integral e^x^2dx + Cr)

Passo 19

Esse é o resultado geral. A integral integral e^x^2dx não tem primitiva elementar (fica em termos de função erro), então deixamos indicada.

Resposta

y = e^-x^2l(x e^x^22 - tfrac12integral e^x^2dx + Cr), onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados