Determine uma equação diferencial ordinária de primeira ordem tal que
y(x)=1+cx, c in R
R x y^prime+y=1

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar uma EDO de primeira ordem cuja solução geral seja y(x)=1+cx, com constante arbitrária c. O conteúdo envolve equações diferenciais e o método de eliminação de parâmetro.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de y. Como y(x)=1+tfraccx, aplicando a regra do quociente ou reconhecendo c/x=c,x^-1, temos
y'=-c,x^-2 = -cx^2

Passo 3

A seguir, isolamos a constante c em função de y e x. Da expressão y=1+tfraccx vem
y-1=cxLongrightarrow c=x,(y-1)

Passo 4

Agora substituímos c=x(y-1) na expressão de y':
y' = -cx^2 = -x(y-1)x^2 = -y-1x

Passo 5

Finalmente, rearranjamos para escrever uma EDO. Multiplicando ambos os lados por x
x,y' = -(y-1) ,Longrightarrow, x,y' + y -1 = 0,
o que leva à forma
x,y' + y = 1

Resposta

x,y' + y = 1

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