Um tanque contém inicialmente
de água salgada com
de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo
de sal por litro à razão de
. A mistura escoa do tanque à razão de
. Ache a quantidade de sal no tanque depois de
(a partir de
).
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura: um tanque com volume constante de 1000 L contém inicialmente 10 kg de sal. Entra solução com concentração de 0,05 kg/L à vazão de 21 L/min e sai mistura à mesma vazão. Vamos usar o modelo de taxa de variação de massa de sal, que leva a uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 2
Calculemos as taxas de entrada e saída de sal. A taxa de entrada de sal é dado por concentração × vazão:
Passo 3
A taxa de saída de sal é dada pela concentração no tanque vezes a vazão de saída. Se
é a massa de sal no tanque em kg, a concentração é
kg/L, logo:
Passo 4
Formulamos a equação diferencial que descreve a variação da massa de sal:
Passo 5
Para resolvermos a EDO linear
, usamos fator integrante ou reconhecemos que a solução geral é a soma da solução estacionária e do termo transiente. A solução estacionária é
Passo 6
Logo a solução geral é
Passo 7
Aplicando a condição inicial
, obtemos
Passo 8
Portanto
Passo 9
Agora basta avaliar em
minutos:
Passo 10
Calculando numericamente, temos aproximadamente
kg de sal no tanque.
Resposta
A quantidade de sal após 20 minutos é
kg.