Um tanque contém inicialmente 1000 ell de água salgada com 10 kg de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo 0,05 kg de sal por litro à razão de 21 / min. A mistura escoa do tanque à razão de 21 / min. Ache a quantidade de sal no tanque depois de 20 min (a partir de t=0).

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura: um tanque com volume constante de 1000 L contém inicialmente 10 kg de sal. Entra solução com concentração de 0,05 kg/L à vazão de 21 L/min e sai mistura à mesma vazão. Vamos usar o modelo de taxa de variação de massa de sal, que leva a uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 2

Calculemos as taxas de entrada e saída de sal. A taxa de entrada de sal é dado por concentração × vazão:
Entrada = 0,05,kg/L times 21,L/min = 1,05,kg/min

Passo 3

A taxa de saída de sal é dada pela concentração no tanque vezes a vazão de saída. Se y(t) é a massa de sal no tanque em kg, a concentração é y(t)/1000,kg/L, logo:
Saída = y(t)1000 times 21 = 211000,y(t),kg/miní

Passo 4

Formulamos a equação diferencial que descreve a variação da massa de sal:
dydt = Entrada - Saída = 1,05 - 211000yí

Passo 5

Para resolvermos a EDO linear dydt + 211000y = 1,05, usamos fator integrante ou reconhecemos que a solução geral é a soma da solução estacionária e do termo transiente. A solução estacionária é
yinfty = 1,0521/1000 = 50

Passo 6

Logo a solução geral é
y(t) = C e^-211000t + 50

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(0)=10, obtemos
10 = C + 50 implies C = -40

Passo 8

Portanto
y(t) = 50 - 40 e^-211000t

Passo 9

Agora basta avaliar em t=20 minutos:
y(20) = 50 - 40 e^-211000times20 = 50 - 40 e^-0.42

Passo 10

Calculando numericamente, temos aproximadamente y(20)approx23,7 kg de sal no tanque.

Resposta

A quantidade de sal após 20 minutos é y(20)=50 - 40 e^-0.42approx23,7 kg.

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