Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes:
e^nn^3

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a sequência an=e^nn^3. O conteúdo principal é comparar o crescimento de uma função exponencial com o de um polinômio e usar o teste da razão para sequências para ver se ela converge ou diverge.

Passo 2

O teste da razão para sequências diz que, se a gente calcular L=limntoinftyl|tfracan+1anr|, então: se L<1 a sequência tende a zero, se L>1 a sequência diverge (vai para +infty), e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = e^n+1(n+1)^3e^nn^3 = e (nn+1)^3
Em seguida, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty an+1an = e limntoinfty (nn+1)^3 = e cdot 1 = e

Passo 4

Como obtemos L=e e sabemos que eapprox2,718>1, o teste da razão nos garante que a sequência an diverge, isto é, seus termos crescem sem limite.

Passo 5

Portanto, a sequência não converge para um número finito; ela diverge para +infty.

Resposta

A sequência e^nn^3 diverge para +infty, logo é divergente.

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