Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
x y=A e^{x}+B e^{x}+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
x\,y = A e^{x} + B e^{x} + x^{2},
onde A e B são constantes arbitrárias. Como ambas aparecem multiplicando e^{x}, podemos juntá-las numa única constante e obter uma família de uma só constante. O objetivo é eliminar essa constante por meio de derivação e chegar à equação diferencial.

Passo 2

Defina
C = A + B,
para reescrever a família como
x\,y = C\,e^{x} + x^{2}.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Pela regra do produto em x\,y e sabendo que C é constante, vem
\frac{d}{dx}(x\,y) = y + x\,\frac{dy}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl(C\,e^{x} + x^{2}\bigr) = C\,e^{x} + 2x.
Logo,
y + x\,y' = C\,e^{x} + 2x,
onde escrevemos y'=\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Para eliminar C, isolamos C\,e^{x} na equação original:
C\,e^{x} = x\,y - x^{2}.
Substituindo em
y + x\,y' = C\,e^{x} + 2x
obtém-se
y + x\,y' = (x\,y - x^{2}) + 2x \;\;\Longrightarrow\;\; y + x\,y' - x\,y + x^{2} - 2x = 0.
Reagrupando,
x\,y' + (1 - x)\,y + x^{2} - 2x = 0.

Resposta

A equação diferencial que descreve a família dada é
x\,\frac{dy}{dx} + (1 - x)\,y + x^{2} - 2x = 0.

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