Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
,
onde e
são constantes arbitrárias. Como ambas aparecem multiplicando
, podemos juntá-las numa única constante e obter uma família de uma só constante. O objetivo é eliminar essa constante por meio de derivação e chegar à equação diferencial.
onde
Passo 2
Defina
para reescrever a família como
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. Pela regra do produto em
e sabendo que
é constante, vem
Logo,
onde escrevemos
.
Passo 3
Para eliminar
, isolamos
na equação original:
Substituindo em
obtém-se
Reagrupando,
Resposta
A equação diferencial que descreve a família dada é