Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y=A e^{2 x}+B e^{-3 x}+C e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y = A e^{2x} + B e^{-3x} + C e^{x}
com três constantes A,B,C. Isso indica que a equação diferencial procurada é de ordem 3, linear e homogênea com coeficientes constantes, cujas raízes características são 2, -3 e 1.

Passo 2

Usamos o ansatz y\sim e^{r x}. As raízes devem anular o polinômio
(r-2)(r+3)(r-1)=0.
Primeiro calculamos
(r-2)(r+3)=r^2 + r -6,
e em seguida
(r^2 + r -6)(r-1) = r^3 -7r +6.
Logo o polinômio característico é r^3 -7r +6.

Passo 3

A equação diferencial linear homogênea associada a esse polinômio é
\frac{d^3y}{dx^3} -7\frac{dy}{dx} +6y = 0.

Resposta

\frac{d^3y}{dx^3} -7\frac{dy}{dx} +6y = 0.

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