Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y^{2}-2 a y+x^{2}=a^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y^{2}-2a\,y+x^{2}=a^{2},
onde a é o parâmetro. Queremos eliminar a e obter uma equação diferencial de ordem 1 que descreva essa família.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x, lembrando que a é constante ( \tfrac{da}{dx}=0), obtemos
2y\,y' - 2a\,y' + 2x = 0.
Fatorando 2 e isolando, vem
y'(y - a) + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'(y - a) = -\,x.

Passo 3

Da relação y'(y - a) = -x obtemos
y - a = -\frac{x}{y'} \quad\Longrightarrow\quad a = y + \frac{x}{y'}.

Passo 4

Substituímos a = y + \tfrac{x}{y'} na equação original:
y^{2} - 2y\Bigl(y + \frac{x}{y'}\Bigr) + x^{2} =\Bigl(y + \frac{x}{y'}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Expandindo e simplificando,
LHS =y^{2}-2y^{2}-2\,\frac{x\,y}{y'}+x^{2}=-y^{2}-2\frac{x\,y}{y'}+x^{2},
RHS =y^{2}+2\frac{x\,y}{y'}+\frac{x^{2}}{y'^{2}}.
Igualando e reorganizando resulta
(2y^{2}-x^{2})\,y'^{2}+4x\,y\,y'+x^{2}=0.

Resposta

(2y^{2}-x^{2})\,(y')^{2}+4x\,y\,y'+x^{2}=0.

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