Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
, onde
é um parâmetro
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
onde
é um parâmetro. Queremos obter uma equação diferencial em que o parâmetro
esteja eliminado, ou seja, uma EDO cujo conjunto de soluções seja exatamente essa família.
Passo 2
Diferenciando a relação
em relação a
, e lembrando que
temos
Passo 3
Agora isolamos
em duas expressões distintas. Da definição original:
E da derivada:
Passo 4
Igualando as duas expressões de
para eliminar o parâmetro, obtemos
Reorganizando, uma forma mais usual da EDO é