Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y=A e^{3 x}+B e^{5 x}, onde A e B são constantes não iguais.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y = A e^{3x} + B e^{5x},
onde A e B são constantes arbitrárias não iguais. O conteúdo é achar a equação diferencial que gera essa família, eliminando A e B. Para isso, vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Como aparecem duas constantes arbitrárias, a equação diferencial será de segunda ordem. Logo, precisamos computar y' e y''.

Passo 3

Derivando em relação a x, temos
y = A e^{3x} + B e^{5x},
y' = 3A e^{3x} + 5B e^{5x},
y'' = 9A e^{3x} + 25B e^{5x}.

Passo 4

Procuramos uma combinação linear de y, y' e y'' que anule simultaneamente os termos em e^{3x} e e^{5x}. Testando
y'' - 8y' + 15y
obtemos
y'' - 8y' + 15y = (9A - 8\cdot 3A + 15A)e^{3x} + (25B - 8\cdot 5B + 15B)e^{5x} = 0.
Isso elimina A e B, produzindo a equação diferencial desejada.

Resposta

y'' - 8y' + 15y = 0.

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