Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
y=e^{m x}, onde m é constante arbitrário.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y = e^{m x},
onde m é constante arbitrária.
O objetivo é encontrar uma equação diferencial que envolva x, y e derivadas de y, mas sem o parâmetro m. Para isto, vamos usar a técnica de eliminar o parâmetro a partir da equação original e de sua derivada.

Passo 2

Começamos isolando m na equação original. Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = m x
e daí
m = \frac{\ln y}{x}.

Passo 3

Agora derivamos a relação y = e^{m x} em relação a x. Como m é constante,
\frac{dy}{dx} = y' = m\,e^{m x} = m\,y.

Passo 4

Já temos duas expressões para m:
m = \frac{\ln y}{x} \quad\text{e}\quad m = \frac{y'}{y}.
Igualando-as e rearranjando, eliminamos m:
\frac{y'}{y} = \frac{\ln y}{x} \quad\Longrightarrow\quad x\,y' - y\,\ln y = 0.

Resposta

A equação diferencial da família y=e^{m x} é
x\,y' - y\,\ln y = 0.

Exercícios relacionados