Determine a equação diferencial da seguintes famílias de curvas.
, onde
é constante arbitrário.
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
onde
é constante arbitrária.
O objetivo é encontrar uma equação diferencial que envolva ,
e derivadas de
, mas sem o parâmetro
. Para isto, vamos usar a técnica de eliminar o parâmetro a partir da equação original e de sua derivada.
O objetivo é encontrar uma equação diferencial que envolva
Passo 2
Começamos isolando
na equação original. Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
e daí
Passo 3
Agora derivamos a relação
em relação a
. Como
é constante,
Passo 4
Já temos duas expressões para
:
Igualando-as e rearranjando, eliminamos
:
Resposta
A equação diferencial da família
é