Determine a equação diferencial de todas as circunferências de raio
.
Passo 1
O enunciado pede a equação diferencial de todas as circunferências de raio
. Essa família de curvas depende de dois parâmetros arbitrários, as coordenadas do centro
. Para eliminar esses parâmetros e obter a equação diferencial, vamos:
- escrever a equação geral da circunferência;
- derivar uma vez para obter uma relação entre
, e ; - derivar de novo para eliminar
; - usar essas expressões na equação original para eliminar
.
Passo 2
Escrevemos a equação geral da circunferência de raio
e centro
:
Passo 3
Derivando em relação a
, temos
que simplifica para
Passo 4
Derivando novamente a relação anterior para eliminar
, obtemos
de onde
Passo 5
Da equação
e usando o valor de
acima, segue
Passo 6
Substituindo as expressões de
e
na equação original
temos
que se rearranja para