Resolva PVI
\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-9 x=12 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=2 \\\ y^{\prime \prime}(0)=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\begin{cases} y'''(x)-9x=12,\\\ y(0)=1,\;y'(0)=2,\;y''(0)=4. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolver uma EDO de terceira ordem por integrações sucessivas e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y'''(x)=12+9x.
Integramos em relação a x para obter y''(x):
y''(x)=\int(12+9x)\,dx=12x+\frac{9}{2}x^2+C_1.

Passo 3

Agora integramos y''(x) para achar y'(x):
y'(x)=\int\bigl(12x+\tfrac{9}{2}x^2+C_1\bigr)\,dx =6x^2+\frac{3}{2}x^3 + C_1\,x + C_2.

Passo 4

Integramos y'(x) para obter y(x):
y(x)=\int\bigl(6x^2+\tfrac{3}{2}x^3+C_1x+C_2\bigr)\,dx =2x^3+\frac{3}{8}x^4+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3.

Passo 5

Usamos as condições iniciais para determinar C_1, C_2 e C_3:
y''(0)=C_1=4,\quad y'(0)=C_2=2,\quad y(0)=C_3=1.
Substituindo em y(x), obtemos
y(x) =2x^3+\frac{3}{8}x^4+\;2x^2+\;2x+\;1.

Resposta

y(x)=\frac{3}{8}x^4+2x^3+2x^2+2x+1.

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