Resolva PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}-9 x=12 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=2 \\\ y^{\prime \prime}(0)=4\end{array}\right. Passo 1O enunciado apresenta o problema de valor inicial \begin{cases} y'''(x)-9x=12,\\\ y(0)=1,\;y'(0)=2,\;y''(0)=4. \end{cases} O conteúdo aqui é resolver uma EDO de terceira ordem por integrações sucessivas e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração. Passo 2Reescrevendo a equação, temos y'''(x)=12+9x. Integramos em relação a x para obter y''(x): y''(x)=\int(12+9x)\,dx=12x+\frac{9}{2}x^2+C_1. Passo 3Agora integramos y''(x) para achar y'(x): y'(x)=\int\bigl(12x+\tfrac{9}{2}x^2+C_1\bigr)\,dx =6x^2+\frac{3}{2}x^3 + C_1\,x + C_2. Passo 4Integramos y'(x) para obter y(x): y(x)=\int\bigl(6x^2+\tfrac{3}{2}x^3+C_1x+C_2\bigr)\,dx =2x^3+\frac{3}{8}x^4+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3. Passo 5Usamos as condições iniciais para determinar C_1, C_2 e C_3: y''(0)=C_1=4,\quad y'(0)=C_2=2,\quad y(0)=C_3=1. Substituindo em y(x), obtemos y(x) =2x^3+\frac{3}{8}x^4+\;2x^2+\;2x+\;1. Resposta y(x)=\frac{3}{8}x^4+2x^3+2x^2+2x+1. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine a equação diferencial de todas as retas que dista 1 unidade da origem. Determine a equação diferencial de todas as circunferências de raio R. Resolva PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-6 x^{2}-1=0 \\\ y(1)=5\end{array}\right. Determine a equação diferencial de todas as circunferências de raio R.