Determine a equação diferencial de todas as retas que dista 1 unidade da origem.
Passo 1
O enunciado pede a equação diferencial cuja família geral de soluções seja exatamente todas as retas que distam
do ponto de origem. O conteúdo aqui é famílias de curvas e eliminação do parâmetro para obter uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar do parâmetro inclinação
, da fórmula da distância de um ponto a uma reta e da relação
.
Passo 2
Qualquer reta pode ser escrita como
onde
é a inclinação e
o coeficiente linear. A distância da reta
à origem é dada por
Elevando ao quadrado, obtemos
Logo a família de retas é
Passo 3
Para achar a equação diferencial, usamos que
e eliminamos
. Como
, de
segue
Substituindo
, concluímos que a família satisfaz