Determine a equação diferencial de todas as retas que dista 1 unidade da origem.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial cuja família geral de soluções seja exatamente todas as retas que distam 1 do ponto de origem. O conteúdo aqui é famílias de curvas e eliminação do parâmetro para obter uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar do parâmetro inclinação m, da fórmula da distância de um ponto a uma reta e da relação m=y'.

Passo 2

Qualquer reta pode ser escrita como
y = m x + c,
onde m é a inclinação e c o coeficiente linear. A distância da reta y=mx+c à origem é dada por
\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} = 1.
Elevando ao quadrado, obtemos
c^2 = m^2 + 1.
Logo a família de retas é
y = m x \pm \sqrt{m^2+1}.

Passo 3

Para achar a equação diferencial, usamos que m=y' e eliminamos m. Como c=y-mx, de c^2=m^2+1 segue
\bigl(y - m x\bigr)^2 = m^2 + 1.
Substituindo m=y', concluímos que a família satisfaz
\bigl(y - x\,y'\bigr)^2 = \bigl(y'\bigr)^2 + 1.

Resposta

\bigl(y - x\,y'\bigr)^2 = \bigl(y'\bigr)^2 + 1.

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