Determine a equação diferencial de todas as circunferências de raio R.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial de todas as circunferências de raio R. Essa família de curvas depende de dois parâmetros arbitrários, as coordenadas do centro (a,b). Para eliminar esses parâmetros e obter a equação diferencial, vamos:
  1. escrever a equação geral da circunferência;
  2. derivar uma vez para obter uma relação entre x-a, y-b e y';
  3. derivar de novo para eliminar a;
  4. usar essas expressões na equação original para eliminar b.

Passo 2

Escrevemos a equação geral da circunferência de raio R e centro (a,b):
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.

Passo 3

Derivando em relação a x, temos
2(x - a) + 2(y - b)\,y' = 0
que simplifica para
(x - a) + (y - b)\,y' = 0.

Passo 4

Derivando novamente a relação anterior para eliminar a, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[(x-a)+(y-b)y'\bigr]=1+(y')^2+(y-b)\,y''=0,
de onde
y - b = -\frac{1 + (y')^2}{y''}.

Passo 5

Da equação (x - a)=-(y - b)\,y' e usando o valor de y-b acima, segue
x - a = \frac{(1 + (y')^2)\,y'}{y''}.

Passo 6

Substituindo as expressões de x-a e y-b na equação original
(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
temos
\Bigl(\frac{(1 + (y')^2)\,y'}{y''}\Bigr)^2 \;+\;\Bigl(-\frac{1 + (y')^2}{y''}\Bigr)^2 \;=\; R^2,
que se rearranja para
\frac{(1 + (y')^2)^3}{(y'')^2} = R^2 \quad\Longrightarrow\quad (1 + (y')^2)^3 = R^2\,(y'')^2.

Resposta

(1 + (y')^2)^3 = R^2\,(y'')^2.

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