Resolva PVI
\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-6 x^{2}-1=0 \\\ y(1)=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} - 6x^2 - 1 = 0, \quad y(1)=5.
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem em que a derivada de y está dada explicitamente em função de x. Vamos resolver integrando ambos os lados.

Passo 2

Isolamos a derivada \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = 6x^2 + 1.
Isso significa que, para obter y(x), basta calcular a antiderivada de 6x^2 + 1.

Passo 3

Integramos a expressão em x:
y(x) = \int (6x^2 + 1)\,dx = 2x^3 + x + C,
onde C é a constante de integração a ser determinada pela condição inicial.

Passo 4

Aplicamos y(1)=5 para encontrar C:
y(1) = 2\cdot1^3 + 1 + C = 3 + C = 5 \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = 2x^3 + x + 2.

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