Considere a parábola
. Determine os pontos de interseção dessa parábola com a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma parábola dada pela equação $ y^{2} = 12x $ e uma reta representada por $ x - y + 2 = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, onde elas têm os mesmos valores de $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de álgebra para resolver essas equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da reta: $ x - y + 2 = 0 $. A gente pode reescrever essa equação para expressar $ x $ em função de $ y $. Assim:
Isso nos facilita porque agora podemos substituir esse valor de $ x $ na equação da parábola.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ x = y - 2 $ na equação da parábola $ y^{2} = 12x $. Fazendo essa substituição, ficamos com:
Nosso próximo passo é resolver essa equação para encontrar os valores de $ y $.
Passo 4
Vamos desenvolver a equação $ y^{2} = 12(y - 2) $:
Em seguida, trazemos todos os termos para o lado esquerdo da equação para igualar a zero:
Agora temos uma equação quadrática na forma padrão $ ay^{2} + by + c = 0 $, onde $ a = 1 $, $ b = -12 $ e $ c = 24 $.
Passo 5
Para resolver a equação quadrática $ y^{2} - 12y + 24 = 0 $, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos dois valores para $ y $:
Passo 6
Agora que temos os valores de $ y $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ x $ usando a equação que encontramos anteriormente: $ x = y - 2 $.
Para $ y_{1} = 6 + 2\sqrt{3} $:
Para $ y_{2} = 6 - 2\sqrt{3} $:
Resposta
Os pontos de interseção são $ \left(4 + 2\sqrt{3},\ 6 + 2\sqrt{3}\right) $ e $ \left(4 - 2\sqrt{3},\ 6 - 2\sqrt{3}\right) $.