Determine a equação de uma elipse cujos focos são os pontos (0,-3) e (0,3) e tem eixo maior medindo 8 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá uma elipse com focos em (0,-3) e (0,3) e pede sua equação sabendo que o eixo maior mede 8 unidades. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas, em particular a definição de elipse como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante 2a.

Passo 2

Como os focos estão em (0,-3) e (0,3), o centro da elipse é a origem e o eixo maior é vertical. Chamando c a distância do centro a cada foco, temos
c = 3.

Passo 3

O enunciado informa que o comprimento do eixo maior é 2a = 8. Logo
a = 4.

Passo 4

Na elipse, a relação entre a, b e c é
c^2 = a^2 - b^2.
Substituindo a = 4 e c = 3, vem
9 = 16 - b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 16 - 9 = 7.

Passo 5

Como o eixo maior é vertical, a forma canônica da elipse é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.
Substituindo a^2 = 16 e b^2 = 7, obtemos a equação desejada:

Resposta

\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{16} = 1.

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