Encontre a equação da elipse com focos em (-4,0) e (4,0) cujo eixo menor mede 6 unidades.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com focos em (-4,0) e (4,0) e com eixo menor medindo 6 unidades. Este é um problema de geometria analítica: usamos a forma padrão da elipse centrada na origem com eixos alinhados aos eixos coordenados e a relação
c^2 = a^2 - b^2
entre o semi-eixo maior a, o semi-eixo menor b e a distância c do centro a cada foco.

Passo 2

Como os focos estão em (-4,0) e (4,0), o centro fica em (0,0) e
c = 4.
O eixo menor mede 6, ou seja, 2b = 6, de onde
b = 3.

Passo 3

Aplicando a relação c^2 = a^2 - b^2, temos
4^2 = a^2 - 3^2
16 = a^2 - 9
a^2 = 25
e portanto
a = 5.

Passo 4

A forma padrão da elipse com semi-eixo maior a ao longo de x e semi-eixo menor b ao longo de y é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=25 e b^2=9, obtemos a equação desejada.

Resposta

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1

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