Encontre a equação da elipse com focos em (-6,0) e (6,0) cujo eixo maior mede 20 unidades.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos estão em (-6,0) e (6,0) e cujo eixo maior tem comprimento 20. Para uma elipse centrada na origem com eixos alinhados aos eixos coordenados vale a relação
c^2 = a^2 - b^2
onde 2a é o comprimento do eixo maior e 2c é a distância total entre os focos.

Passo 2

Como os focos são (-6,0) e (6,0), a distância do centro a cada foco é
c = 6.
O enunciado diz que o eixo maior mede 20, ou seja,
2a = 20\quad\Longrightarrow\quad a = 10.

Passo 3

Aplicando a relação c^2 = a^2 - b^2 para encontrar b:
b^2 = a^2 - c^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64,
portanto
b = 8.

Passo 4

A forma canônica da elipse com semi-eixos a na direção x e b na direção y é
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=100 e b^2=64, obtemos:

Resposta

\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1

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