Determine a equação da elipse cujos focos são os vértices da cônica
e dois de seus vértices são os focos da cônica dada.
Passo 1
O enunciado pede a elipse cujos focos são exatamente os vértices da hipérbole
e cujos vértices são exatamente os focos dessa mesma hipérbole. Vamos, então, (i) reescrever a hipérbole em forma padrão para encontrar seu centro, seus vértices e seus focos; (ii) usar essas informações para montar os parâmetros da elipse.
Passo 2
Começamos reescrevendo
completando o quadrado em
. Note que
logo
Dividindo tudo por
, obtemos a forma padrão
Dessa forma, o centro é
, temos
e
, e os vértices da hipérbole, que ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo
, são
Passo 3
Para encontrar os focos da hipérbole usamos
portanto
. Os focos ficam, ao longo do eixo
do centro
, em
Passo 4
Agora montamos a elipse:
- Seus focos são os vértices da hipérbole, ou seja,
. Logo, para a elipse . - Seus vértices são os focos da hipérbole, ou seja,
. Então .
Em uma elipse vale
daí
.
Passo 5
Com centro em
, sem rotação e eixos paralelos aos eixos coordenados, a equação da elipse é