Determine a equação da elipse cujos focos são os vértices da cônica x^{2}-y^{2}-4 y=8 e dois de seus vértices são os focos da cônica dada.

Passo 1

O enunciado pede a elipse cujos focos são exatamente os vértices da hipérbole
x^2 - y^2 - 4y = 8
e cujos vértices são exatamente os focos dessa mesma hipérbole. Vamos, então, (i) reescrever a hipérbole em forma padrão para encontrar seu centro, seus vértices e seus focos; (ii) usar essas informações para montar os parâmetros da elipse.

Passo 2

Começamos reescrevendo
x^2 - y^2 - 4y = 8
completando o quadrado em y. Note que
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4,
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x^2 - \bigl[(y+2)^2 - 4\bigr] = 8 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - (y+2)^2 = 4.
Dividindo tudo por 4, obtemos a forma padrão
\frac{x^2}{4} \;-\;\frac{(y+2)^2}{4} \;=\;1.
Dessa forma, o centro é (0,-2), temos a^2 = 4 e b^2 = 4, e os vértices da hipérbole, que ficam a uma distância a=2 do centro ao longo do eixo x, são
(2, -2) \quad\text{e}\quad (-2, -2).

Passo 3

Para encontrar os focos da hipérbole usamos
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 4 = 8,
portanto c = 2\sqrt{2}. Os focos ficam, ao longo do eixo x do centro (0,-2), em
\bigl(2\sqrt{2},\,-2\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-2\sqrt{2},\,-2\bigr).

Passo 4

Agora montamos a elipse:
  • Seus focos são os vértices da hipérbole, ou seja,
    \bigl(\pm 2,-2\bigr). Logo, para a elipse c_{\rm elipse}=2.
  • Seus vértices são os focos da hipérbole, ou seja,
    \bigl(\pm 2\sqrt{2},-2\bigr). Então a_{\rm elipse}=2\sqrt{2}.
    Em uma elipse vale
b^2 = a^2 - c^2 = \bigl(2\sqrt{2}\bigr)^2 - (2)^2 = 8 - 4 = 4,
daí b=2.

Passo 5

Com centro em (0,-2), sem rotação e eixos paralelos aos eixos coordenados, a equação da elipse é
\frac{(x-0)^2}{a^2} \;+\;\frac{(y+2)^2}{b^2} \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{8} \;+\;\frac{(y+2)^2}{4} \;=\;1.

Resposta

\frac{x^2}{8} \;+\;\frac{(y+2)^2}{4} \;=\;1.

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