Determine os valores de
e
para que a equação
represente :
um ponto
um ponto
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores reais de
e
de modo que a curva
se reduza a um único ponto. Esse é um problema de classificação de cônicas degeneradas, e vamos usar “completar quadrado” para identificar quando surge um ponto.
Passo 2
Agrupando os termos em
e deixando o
separado, temos
Passo 3
Para completar o quadrado em
, escrevemos
Substituindo na equação original:
Passo 4
Para que a cônica seja apenas um ponto isolado, ela deve ser uma “elipse de raio zero”. Isso exige duas coisas simultâneas:
-
, para que seja elipse (e não hipérbole ou parabola). - O “raio” da elipse deve zerar, ou seja, o lado direito
deve ser zero:
Mas
para todo
, logo não há solução real.
Resposta
Não existem valores reais de
e
que façam a curva
representar apenas um ponto.
representar apenas um ponto.