Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
um ponto

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores reais de m e q de modo que a curva
x^{2} + q\,y^{2} + 2\,m\,x - 1 = 0
se reduza a um único ponto. Esse é um problema de classificação de cônicas degeneradas, e vamos usar “completar quadrado” para identificar quando surge um ponto.

Passo 2

Agrupando os termos em x e deixando o y separado, temos
x^{2} + 2\,m\,x + q\,y^{2} - 1 = 0.

Passo 3

Para completar o quadrado em x, escrevemos
x^{2} + 2\,m\,x = (x + m)^{2} - m^{2}.
Substituindo na equação original:
(x + m)^{2} - m^{2} + q\,y^{2} - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + m)^{2} + q\,y^{2} = 1 + m^{2}.

Passo 4

Para que a cônica seja apenas um ponto isolado, ela deve ser uma “elipse de raio zero”. Isso exige duas coisas simultâneas:
  1. q>0, para que seja elipse (e não hipérbole ou parabola).
  2. O “raio” da elipse deve zerar, ou seja, o lado direito 1 + m^{2} deve ser zero:
1 + m^{2} = 0.
Mas 1 + m^{2}\ge1 para todo m\in\mathbb{R}, logo não há solução real.

Resposta

Não existem valores reais de m e q que façam a curva
x^{2} + q\,y^{2} + 2\,m\,x - 1 = 0
representar apenas um ponto.

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