Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
duas retas;

Passo 1

O enunciado pede valores de m e q tais que a curva de segunda ordem
x^{2} + q\,y^{2} + 2m\,x - 1 = 0
se decomponha em duas retas. Esse é um caso de degeneração de uma cônica em par de retas.

Passo 2

Para que uma cônica geral
A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0
se reduza a par de retas reais, é necessário que o determinante
\begin{vmatrix} A & \tfrac{B}{2} & \tfrac{D}{2} \\\ \tfrac{B}{2} & C & \tfrac{E}{2} \\\ \tfrac{D}{2} & \tfrac{E}{2} & F \end{vmatrix}
seja zero.

Passo 3

Na nossa equação temos
A = 1,\quad B = 0,\quad C = q,\quad D = 2m,\quad E = 0,\quad F = -1.
O determinante fica
\begin{vmatrix} 1 & 0 & m \\\\ 0 & q & 0 \\\ m & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(q\cdot(-1)-0) - 0 + m\cdot(0 - q\,m) = -q - q\,m^{2} = -q\,(1 + m^{2}).

Passo 4

Impondo a condição de degeneração, o determinante deve ser zero:
-q\,(1 + m^{2}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad q = 0
pois 1 + m^{2}>0 para todo m\in\mathbb{R}.

Passo 5

Com q=0 a equação vira
x^{2} + 2m\,x - 1 = 0,
que independe de y e define exatamente duas retas verticais
\displaystyle x = -m \pm \sqrt{m^{2}+1}, reais para todo m.

Resposta

q = 0,\quad m\in\mathbb{R}.

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