Uma parábola tem como eixo focal o eixo imaginário da hipérbole y^{2}-9 x^{2}-6 y=0. Passa pelos focos da cônica dada e corta o eixo dos x no ponto (1,0). Escreva a equação dessa parábola. A elipse cujos focos são (-3,4) e (5,4) e a soma dos raios focais é 12 tem dois pontos cujos raios focais são todos iguais. Escreva a equação da reta que passa por esses dois pontos.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, vamos achar a parábola cujo eixo focal é o eixo imaginário da hipérbole
y^{2}-9x^{2}-6y=0
ela passa pelos focos dessa hipérbole e pelo ponto (1,0). Depois, vamos considerar a elipse com focos em (-3,4) e (5,4) e soma dos raios focais igual a 12, encontrar os dois pontos em que as distâncias aos focos são iguais e escrever a reta que os une.
Na elipse os focos são (-3,4) e (5,4). O centro é \bigl(\tfrac{-3+5}{2},4\bigr)=(1,4), a distância focal é 2c=8 com c=4, e a soma dos raios 2a=12 dá a=6. Então
b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-16=20
e a equação é
\frac{(x-1)^{2}}{36}+\frac{(y-4)^{2}}{20}=1.
Os pontos onde as distâncias aos focos são iguais satisfazem d((x,y),(-3,4))=d((x,y),(5,4)), o que é a mediatriz horizontal dos focos, ou seja x=1. Intersectando com a elipse: