Uma parábola tem como eixo focal o eixo imaginário da hipérbole y^{2}-9 x^{2}-6 y=0. Passa pelos focos da cônica dada e corta o eixo dos x no ponto (1,0). Escreva a equação dessa parábola. A elipse cujos focos são (-3,4) e (5,4) e a soma dos raios focais é 12 tem dois pontos cujos raios focais são todos iguais. Escreva a equação da reta que passa por esses dois pontos.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, vamos achar a parábola cujo eixo focal é o eixo imaginário da hipérbole
y^{2}-9x^{2}-6y=0
ela passa pelos focos dessa hipérbole e pelo ponto (1,0). Depois, vamos considerar a elipse com focos em (-3,4) e (5,4) e soma dos raios focais igual a 12, encontrar os dois pontos em que as distâncias aos focos são iguais e escrever a reta que os une.

Passo 2

Para a hipérbole escrevemos
y^{2}-6y-9x^{2}=0\;\Longrightarrow\;(y-3)^{2}-9x^{2}=9\;\Longrightarrow\;\frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{1}=1.
O centro é (0,3), a semi-eixo real é a=3, o semi-eixo imaginário é b=1 e c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{10}. Os focos são
F_{1}=(0,\,3+\sqrt{10}),\quad F_{2}=(0,\,3-\sqrt{10}),
e o eixo imaginário (eixo conjugado) é a reta horizontal y=3.

Passo 3

Uma parábola de eixo horizontal y=3 tem equação geral
(y-3)^{2}=4p\,(x-h)
com vértice (h,3) e parâmetro p. Como a parábola passa por F_{1} e F_{2}, ao substituir x=0, y-3=\pm\sqrt{10} obtemos
(\pm\sqrt{10})^{2}=4p\,(0-h)\quad\Longrightarrow\quad 10=-4ph.
Também ela passa por (1,0), onde y-3=-3, x=1, dando
(-3)^{2}=4p\,(1-h)\quad\Longrightarrow\quad 9=4p\,(1-h).

Passo 4

Do sistema
\begin{cases} 10=-4p\,h,\\\\ 9=4p\,(1-h), \end{cases}
temos da primeira equação h=-\tfrac{10}{4p}. Substituindo na segunda:
9=4p\Bigl(1+\tfrac{10}{4p}\Bigr)=4p+10\quad\Longrightarrow\quad4p=-1\quad\Longrightarrow\quad p=-\tfrac14,
logo h=-\tfrac{10}{4(-1/4)}=10.

Passo 5

Portanto a parábola é
(y-3)^{2}=4\Bigl(-\tfrac14\Bigr)(x-10) \;\Longrightarrow\;(y-3)^{2}=-(x-10).

Passo 6

Na elipse os focos são (-3,4) e (5,4). O centro é \bigl(\tfrac{-3+5}{2},4\bigr)=(1,4), a distância focal é 2c=8 com c=4, e a soma dos raios 2a=12 a=6. Então
b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-16=20
e a equação é
\frac{(x-1)^{2}}{36}+\frac{(y-4)^{2}}{20}=1.
Os pontos onde as distâncias aos focos são iguais satisfazem d((x,y),(-3,4))=d((x,y),(5,4)), o que é a mediatriz horizontal dos focos, ou seja x=1. Intersectando com a elipse:
\frac{(1-1)^{2}}{36}+\frac{(y-4)^{2}}{20}=1 \;\Longrightarrow\;(y-4)^{2}=20 \;\Longrightarrow\;y=4\pm2\sqrt{5}.

Passo 7

Os dois pontos são \bigl(1,\,4+2\sqrt{5}\bigr) e \bigl(1,\,4-2\sqrt{5}\bigr). A reta que os une é vertical:
x=1.

Resposta

Parábola: (y-3)^{2}=-(x-10)
Reta na elipse: x=1.

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