Determine uma equação da esfera com centro em
e raio 5. Descreva sua intersecção com cada um dos planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a equação da esfera cujo centro e raio são dados; (2) descrever a intersecção dessa esfera com cada um dos planos coordenados.
Dados fornecidos: o centro da esfera é e o raio é
.
As perguntas explícitas são: qual é a equação da esfera? e, para cada plano coordenado (plano , plano
e plano
), qual é a intersecção com a esfera (círculo, ponto, nenhum ponto), e qual a equação desse conjunto quando existir?
Dados fornecidos: o centro da esfera é
As perguntas explícitas são: qual é a equação da esfera? e, para cada plano coordenado (plano
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula padrão da esfera e o que cada símbolo significa. A equação de uma esfera de centro
e raio
é
Aqui:
representa um ponto genérico no espaço;
é o centro da esfera;
é o raio. Essa fórmula vem da definição: a esfera é o conjunto de pontos cuja distância até
é
. A distância euclidiana entre
e
é
; igualando a
e elevando ao quadrado obtemos a equação acima.
Passo 3
Substituímos o centro
e o raio
na fórmula:
Portanto a equação da esfera é
Passo 4
Agora, como achar a intersecção da esfera com um plano coordenado? Técnica direta e intuitiva: substituir a equação do plano na equação da esfera e ver o que sobra. Cada plano coordenado é dado por uma coordenada fixa:
- plano
: ; - plano
: ; - plano
: .
Ao substituir, obtemos uma equação em duas variáveis que descreve a intersecção. Se essa equação for da forma de um círculo (soma de dois quadrados igual a constante positiva), a intersecção é um círculo cujo centro é a projeção do centro da esfera sobre o plano e cujo raio é
, onde
é a distância do centro da esfera ao plano. Vou fazer cada caso explicitamente.
Passo 5
Interseção com o plano
(que é
).
Substituindo
na equação da esfera:
Calcule o termo constante:
Então
Subtraindo
dos dois lados:
Isto é a equação de um círculo no plano
com centro na projeção do centro da esfera nesse plano:
, e raio
.
Também podemos ver pela fórmula da distância: a distância do centro
ao plano
é
. O raio da intersecção é
, consistente com a conta algébrica.
Passo 6
Interseção com o plano
(que é
).
Substituindo
na equação da esfera:
Note que
. Então
Subtraindo
:
Uma soma de quadrados não pode ser negativa. Portanto não há solução real: a esfera não corta o plano
. Geometricamente, a distância do centro ao plano
é
, maior que o raio
, logo não há intersecção.
Passo 7
Interseção com o plano
(que é
).
Substituindo
na equação da esfera:
Aqui
. Então
Subtraindo
:
Isto é um círculo no plano
com centro na projeção do centro da esfera sobre esse plano:
, e raio
.
Pode-se verificar pela distância: distância do centro ao plano
é
. Raio da intersecção é
, conforme calculado.
Resposta
Interseção com o plano
Interseção com o plano
Interseção com o plano