Determine uma equação da esfera com centro em (2,-6,4) e raio 5. Descreva sua intersecção com cada um dos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a equação da esfera cujo centro e raio são dados; (2) descrever a intersecção dessa esfera com cada um dos planos coordenados.
Dados fornecidos: o centro da esfera é (2,-6,4) e o raio é 5.
As perguntas explícitas são: qual é a equação da esfera? e, para cada plano coordenado (plano xy, plano xz e plano yz), qual é a intersecção com a esfera (círculo, ponto, nenhum ponto), e qual a equação desse conjunto quando existir?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula padrão da esfera e o que cada símbolo significa. A equação de uma esfera de centro (a,b,c) e raio r é
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2.
Aqui: (x,y,z) representa um ponto genérico no espaço; (a,b,c) é o centro da esfera; r é o raio. Essa fórmula vem da definição: a esfera é o conjunto de pontos cuja distância até (a,b,c) é r. A distância euclidiana entre (x,y,z) e (a,b,c) é \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}; igualando a r e elevando ao quadrado obtemos a equação acima.

Passo 3

Substituímos o centro (a,b,c)=(2,-6,4) e o raio r=5 na fórmula:
(x-2)^2+(y+6)^2+(z-4)^2=5^2.
Portanto a equação da esfera é
(x-2)^2+(y+6)^2+(z-4)^2=25.

Passo 4

Agora, como achar a intersecção da esfera com um plano coordenado? Técnica direta e intuitiva: substituir a equação do plano na equação da esfera e ver o que sobra. Cada plano coordenado é dado por uma coordenada fixa:
  • plano xy: z=0;
  • plano xz: y=0;
  • plano yz: x=0.
Ao substituir, obtemos uma equação em duas variáveis que descreve a intersecção. Se essa equação for da forma de um círculo (soma de dois quadrados igual a constante positiva), a intersecção é um círculo cujo centro é a projeção do centro da esfera sobre o plano e cujo raio é \sqrt{r^2-d^2}, onde d é a distância do centro da esfera ao plano. Vou fazer cada caso explicitamente.

Passo 5

Interseção com o plano xy (que é z=0).
Substituindo z=0 na equação da esfera:
(x-2)^2+(y+6)^2+(0-4)^2=25.
Calcule o termo constante:
(0-4)^2=4^2=16.
Então
(x-2)^2+(y+6)^2+16=25.
Subtraindo 16 dos dois lados:
(x-2)^2+(y+6)^2=9.
Isto é a equação de um círculo no plano z=0 com centro na projeção do centro da esfera nesse plano: (2,-6,0), e raio \sqrt{9}=3.
Também podemos ver pela fórmula da distância: a distância do centro (2,-6,4) ao plano z=0 é |4-0|=4. O raio da intersecção é \sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3, consistente com a conta algébrica.

Passo 6

Interseção com o plano xz (que é y=0).
Substituindo y=0 na equação da esfera:
(x-2)^2+(0+6)^2+(z-4)^2=25.
Note que (0+6)^2=6^2=36. Então
(x-2)^2+(z-4)^2+36=25.
Subtraindo 36:
(x-2)^2+(z-4)^2=-11.
Uma soma de quadrados não pode ser negativa. Portanto não há solução real: a esfera não corta o plano y=0. Geometricamente, a distância do centro ao plano y=0 é |-6-0|=6, maior que o raio 5, logo não há intersecção.

Passo 7

Interseção com o plano yz (que é x=0).
Substituindo x=0 na equação da esfera:
(0-2)^2+(y+6)^2+(z-4)^2=25.
Aqui (0-2)^2=4. Então
4+(y+6)^2+(z-4)^2=25.
Subtraindo 4:
(y+6)^2+(z-4)^2=21.
Isto é um círculo no plano x=0 com centro na projeção do centro da esfera sobre esse plano: (0,-6,4), e raio \sqrt{21}.
Pode-se verificar pela distância: distância do centro ao plano x=0 é |2-0|=2. Raio da intersecção é \sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}, conforme calculado.

Resposta

(x-2)^2+(y+6)^2+(z-4)^2=25
Interseção com o plano z=0 (plano xy): círculo (x-2)^2+(y+6)^2=9, centro (2,-6,0), raio 3
Interseção com o plano y=0 (plano xz): nenhuma interseção (vazio)
Interseção com o plano x=0 (plano yz): círculo (y+6)^2+(z-4)^2=21, centro (0,-6,4), raio \sqrt{21}

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