Determine uma equação da esfera com centro em (1,-4,3) e raio 5 . Qual é a interseção dessa esfera com o plano x z ?

Passo 1

O enunciado dá o centro da esfera e o raio, e pede duas coisas: uma equação da esfera e a interseção dessa esfera com o plano x z. Informações fornecidas:
\text{centro } = (1,-4,3),\qquad \text{raio } = 5.
Perguntas a responder:
  1. Qual é a equação da esfera com esses dados?
  2. Qual é a interseção dessa esfera com o plano x z (ou seja, com y=0)?

Passo 2

Recordando a forma padrão da equação de uma esfera: a esfera de centro (x_0,y_0,z_0) e raio r tem equação
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.
Explicando: cada termo (x-x_0)^2 mede o quadrado da diferença entre a coordenada x de um ponto genérico e a coordenada x_0 do centro; somando os três quadrados obtemos o quadrado da distância do ponto ao centro, que deve ser igual a r^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao centro (1,-4,3) e raio 5: substituímos x_0=1, y_0=-4, z_0=3 e r=5. Assim a equação da esfera fica
(x-1)^2+(y+4)^2+(z-3)^2 = 25.
Detalhe: notei que y-y_0 = y-(-4) = y+4.

Passo 4

Identificar o plano x z: isso significa o plano onde a coordenada y vale zero, ou seja, y=0. Para achar a interseção da esfera com esse plano, devemos impor y=0 na equação da esfera e simplificar — os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações formam a interseção.

Passo 5

Substituindo y=0 na equação da esfera:
(x-1)^2+(0+4)^2+(z-3)^2 = 25.
Calculemos o termo quadrático fixo: (0+4)^2 = 16. Então
(x-1)^2+(z-3)^2 + 16 = 25.
Isolando os termos em x e z,
(x-1)^2+(z-3)^2 = 25-16 = 9.
Essa é a equação da curva de interseção, escrita como restrição em x e z quando y=0.

Passo 6

Interpretando geometricamente: a equação encontrada
(x-1)^2+(z-3)^2 = 9
com y=0 descreve um círculo no plano y=0. O centro desse círculo é a projeção do centro da esfera sobre o plano y=0, ou seja, (1,0,3). O raio do círculo é \sqrt{9}=3.
Uma verificação útil (fórmula geral): a distância do centro da esfera (1,-4,3) ao plano y=0 é |-4|=4. Como essa distância d=4 é menor que o raio da esfera r=5, a interseção é um círculo de raio \sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{25-16}=3, consistente com o cálculo anterior.

Passo 7

Opcional (forma paramétrica da interseção, útil para visualizar ou usar em cálculos): o círculo pode ser parametrizado por um parâmetro t como
x = 1 + 3\cos t,\qquad y = 0,\qquad z = 3 + 3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Isso gera todos os pontos do círculo de centro (1,0,3) e raio 3 no plano y=0.

Resposta

(x-1)^2+(y+4)^2+(z-3)^2 = 25
Interseção: círculo no plano y=0 com equação (x-1)^2+(z-3)^2 = 9, centro (1,0,3) e raio 3.

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