Determine uma equação da esfera com centro em
e raio 5 . Qual é a interseção dessa esfera com o plano
?
Passo 1
O enunciado dá o centro da esfera e o raio, e pede duas coisas: uma equação da esfera e a interseção dessa esfera com o plano
. Informações fornecidas:
Perguntas a responder:
- Qual é a equação da esfera com esses dados?
- Qual é a interseção dessa esfera com o plano
(ou seja, com )?
Passo 2
Recordando a forma padrão da equação de uma esfera: a esfera de centro
e raio
tem equação
Explicando: cada termo
mede o quadrado da diferença entre a coordenada
de um ponto genérico e a coordenada
do centro; somando os três quadrados obtemos o quadrado da distância do ponto ao centro, que deve ser igual a
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao centro
e raio
: substituímos
,
,
e
. Assim a equação da esfera fica
Detalhe: notei que
.
Passo 4
Identificar o plano
: isso significa o plano onde a coordenada
vale zero, ou seja,
. Para achar a interseção da esfera com esse plano, devemos impor
na equação da esfera e simplificar — os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações formam a interseção.
Passo 5
Substituindo
na equação da esfera:
Calculemos o termo quadrático fixo:
. Então
Isolando os termos em
e
,
Essa é a equação da curva de interseção, escrita como restrição em
e
quando
.
Passo 6
Interpretando geometricamente: a equação encontrada
com
descreve um círculo no plano
. O centro desse círculo é a projeção do centro da esfera sobre o plano
, ou seja,
. O raio do círculo é
.
Uma verificação útil (fórmula geral): a distância do centro da esfera
ao plano
é
. Como essa distância
é menor que o raio da esfera
, a interseção é um círculo de raio
, consistente com o cálculo anterior.
Passo 7
Opcional (forma paramétrica da interseção, útil para visualizar ou usar em cálculos): o círculo pode ser parametrizado por um parâmetro
como
Isso gera todos os pontos do círculo de centro
e raio
no plano
.
Resposta
Interseção: círculo no plano
com equação
, centro
e raio
.