Descreva e esboce a superfície em
representada pela equação
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever e esboçar a superfície em
dada pela equação
.\n
Informações fornecidas:
é a única equação que define a superfície; não há restrição sobre
.\n
O que devo entregar: uma descrição geométrica clara (que tipo de superfície é, vetores diretores, normal, interseções com planos coordenados etc.) e instruções para esboçar essa superfície.
Informações fornecidas:
O que devo entregar: uma descrição geométrica clara (que tipo de superfície é, vetores diretores, normal, interseções com planos coordenados etc.) e instruções para esboçar essa superfície.
Passo 2
Interpretação da equação: a superfície é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
Observação importante: a variável
não aparece na equação, ou seja, para qualquer valor de
a condição depende só de
e
. Isso sugere que a superfície é obtida “extrudando” a linha
do plano
ao longo do eixo
. Em linguagem geométrica: esperamos um plano (uma folha plana) paralelo ao eixo
.
Passo 3
Identificação do vetor normal e forma escalar: a equação pode ser vista como produto escalar
Portanto o vetor normal ao plano é
Explicação didática: um vetor normal é um vetor perpendicular a todo vetor contido na superfície. A equação linear
tem normal
; aqui
. O fato de
indica que o normal tem componente zero em
, ou seja, o plano é vertical (não inclinado em relação ao eixo
).
Passo 4
Forma paramétrica (como gerar todos os pontos do plano): escolho parâmetros
e escrevo
e
de modo a satisfazer
. Uma escolha simples é
Assim a parametrização é
Interpretação: variar
anda ao longo da direção
(porque mudar
em +1 altera
em
, equivalente a
com sinal) e variar
anda ao longo de
(direção do eixo
). Portanto vetores diretores do plano são, por exemplo,
que são linearmente independentes e ambos ortogonais a
.
Passo 5
Interseções com planos coordenados (pontos/retas que ajudam no esboço):
- Interseção com o plano
( ): . Isso é a reta no plano dada por . Ponto(s) notáveis: e . - Interseção com o plano
( ): . É uma reta vertical paralela ao eixo passando por . - Interseção com o plano
( ): . É uma reta vertical paralela ao eixo passando por .
Essas interseções confirmam: o plano contém a reta do
definida por
e, para cada ponto dessa reta, contém toda a linha vertical (paralela a
) passando por esse ponto.
Passo 6
Caracterização geométrica final (linguagem intuitiva):
é um plano vertical inclinado em relação aos eixos
e
de modo que corta o plano
ao longo da reta
. Ele é paralelo ao eixo
(pois a equação não depende de
). O vetor normal
aponta “na direção
-
” e é perpendicular ao plano.
Passo 7
Como esboçar na folha (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
, e com apontando para cima (ou numa direção oblíqua se preferir representação 3D). - No plano
(a “base”), desenhe a reta . É a reta que cruza o eixo em e o eixo em . - Em cada ponto dessa reta desenhe uma linha vertical (paralela ao eixo
). O conjunto dessas linhas verticais forma a folha plana — o plano pedido. - Opcional: marque os pontos
e e uma direção para mostrar paralelismo ao eixo . Se quiser indicar o normal, desenhe o vetor perpendicular ao plano, saindo de um ponto da reta no .
Passo 8
Propriedade útil (distância da origem): se precisar, a distância do plano à origem é dada por
ou seja, o plano está à distância
da origem na direção do normal.
Resposta
Plano em
dado por
; é um plano vertical paralelo ao eixo
com vetor normal
, intercepta o plano
na reta
(passando por
e
); parametrização possível
,
.