Descreva e esboce a superfície em \mathbf{R}^{3} representada pela equação x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede: descrever e esboçar a superfície em \mathbf{R}^{3} dada pela equação \;x+y=2\;.\n
Informações fornecidas:
\;x+y=2\; é a única equação que define a superfície; não há restrição sobre z.\n
O que devo entregar: uma descrição geométrica clara (que tipo de superfície é, vetores diretores, normal, interseções com planos coordenados etc.) e instruções para esboçar essa superfície.

Passo 2

Interpretação da equação: a superfície é o conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbf{R}^{3} que satisfazem
x+y=2.
Observação importante: a variável z não aparece na equação, ou seja, para qualquer valor de z a condição depende só de x e y. Isso sugere que a superfície é obtida “extrudando” a linha \{(x,y)\mid x+y=2\} do plano xy ao longo do eixo z. Em linguagem geométrica: esperamos um plano (uma folha plana) paralelo ao eixo z.

Passo 3

Identificação do vetor normal e forma escalar: a equação pode ser vista como produto escalar
(1,1,0)\cdot(x,y,z)=2.
Portanto o vetor normal ao plano é
\mathbf{n}=(1,1,0).
Explicação didática: um vetor normal é um vetor perpendicular a todo vetor contido na superfície. A equação linear ax+by+cz=d tem normal (a,b,c); aqui a=1,b=1,c=0. O fato de c=0 indica que o normal tem componente zero em z, ou seja, o plano é vertical (não inclinado em relação ao eixo z).

Passo 4

Forma paramétrica (como gerar todos os pontos do plano): escolho parâmetros s,t\in\mathbf{R} e escrevo x e y de modo a satisfazer x+y=2. Uma escolha simples é
x=s,\qquad y=2-s,\qquad z=t.
Assim a parametrização é
\mathbf{r}(s,t) = (s,\;2-s,\;t),\qquad s,t\in\mathbf{R}.
Interpretação: variar s anda ao longo da direção (-1,1,0) (porque mudar s em +1 altera (x,y,z) em (1,-1,0), equivalente a (-1,1,0) com sinal) e variar t anda ao longo de (0,0,1) (direção do eixo z). Portanto vetores diretores do plano são, por exemplo,
\mathbf{v}_1=(-1,1,0),\qquad \mathbf{v}_2=(0,0,1),
que são linearmente independentes e ambos ortogonais a \mathbf{n}.

Passo 5

Interseções com planos coordenados (pontos/retas que ajudam no esboço):
  • Interseção com o plano xy ( z=0): \{(x,y,0)\mid x+y=2\}. Isso é a reta no plano xy dada por x+y=2. Ponto(s) notáveis: (2,0,0) e (0,2,0).
  • Interseção com o plano xz ( y=0): \{(x,0,z)\mid x=2\}=\{(2,0,z)\}. É uma reta vertical paralela ao eixo z passando por (2,0,0).
  • Interseção com o plano yz ( x=0): \{(0,y,z)\mid y=2\}=\{(0,2,z)\}. É uma reta vertical paralela ao eixo z passando por (0,2,0).
Essas interseções confirmam: o plano contém a reta do xy definida por x+y=2 e, para cada ponto dessa reta, contém toda a linha vertical (paralela a z) passando por esse ponto.

Passo 6

Caracterização geométrica final (linguagem intuitiva): \{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x+y=2\} é um plano vertical inclinado em relação aos eixos x e y de modo que corta o plano xy ao longo da reta x+y=2. Ele é paralelo ao eixo z (pois a equação não depende de z). O vetor normal (1,1,0) aponta “na direção x- y” e é perpendicular ao plano.

Passo 7

Como esboçar na folha (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x, y e z com z apontando para cima (ou numa direção oblíqua se preferir representação 3D).
  2. No plano xy (a “base”), desenhe a reta x+y=2. É a reta que cruza o eixo x em (2,0) e o eixo y em (0,2).
  3. Em cada ponto dessa reta desenhe uma linha vertical (paralela ao eixo z). O conjunto dessas linhas verticais forma a folha plana — o plano pedido.
  4. Opcional: marque os pontos (2,0,0) e (0,2,0) e uma direção (0,0,1) para mostrar paralelismo ao eixo z. Se quiser indicar o normal, desenhe o vetor (1,1,0) perpendicular ao plano, saindo de um ponto da reta no xy.

Passo 8

Propriedade útil (distância da origem): se precisar, a distância do plano à origem é dada por
\frac{|0+0-2|}{\|\,(1,1,0)\,\|}=\frac{2}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
ou seja, o plano está à distância \sqrt{2} da origem na direção do normal.

Resposta

Plano em \mathbf{R}^{3} dado por \{(x,y,z)\mid x+y=2\}; é um plano vertical paralelo ao eixo z com vetor normal (1,1,0), intercepta o plano xy na reta x+y=2 (passando por (2,0,0) e (0,2,0)); parametrização possível \mathbf{r}(s,t)=(s,\,2-s,\,t), s,t\in\mathbf{R}.

Exercícios relacionados