Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto (4,3,-1) e tem centro em (3, 8, 1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma equação:
  • A esfera passa pelo ponto (4,3,-1).
  • O centro da esfera é (3,8,1).
  • Pergunta: encontrar uma equação da esfera que satisfaz essas condições.

Passo 2

A forma padrão (centro–raio) da equação de uma esfera com centro em (a,b,c) e raio r é
(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2.
Explicando: x,y,z são as coordenadas de um ponto genérico qualquer na esfera; (a,b,c) é o centro; r é a distância do centro a qualquer ponto da esfera. Nosso objetivo será determinar r usando o ponto dado e o centro fornecido.

Passo 3

Para achar r usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2), a distância entre eles é obtida aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes e resulta em
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.
Aqui cada diferença (x_2-x_1), (y_2-y_1), (z_2-z_1) mede a projeção da distância ao longo de cada eixo; somando os quadrados e tirando raiz obtemos a distância direta no espaço 3D.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância entre o centro (3,8,1) e o ponto (4,3,-1). Calculamos as diferenças coordenada a coordenada:
\Delta x = 4-3 = 1,
\Delta y = 3-8 = -5,
\Delta z = -1-1 = -2.
Agora os quadrados dessas diferenças:
\Delta x^2 = 1^2 = 1,
\Delta y^2 = (-5)^2 = 25,
\Delta z^2 = (-2)^2 = 4.
Somando e lembrando que r^2 é justamente essa soma (antes de tirar raiz):
r^2 = 1 + 25 + 4 = 30.

Passo 5

Substituímos o centro (a,b,c)=(3,8,1) e r^2=30 na forma padrão da esfera. Assim obtemos a equação na forma centro–raio:
(x-3)^2 + (y-8)^2 + (z-1)^2 = 30.

Passo 6

Se quiser a forma expandida (polinomial) — às vezes pedida em provas — expandimos cada quadrado e somamos os termos constantes. Expandindo:
(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9,
(y-8)^2 = y^2 - 16y + 64,
(z-1)^2 = z^2 - 2z + 1.
Somando os três e igualando a 30:
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 16y + 64 + z^2 - 2z + 1 = 30.
Agrupando termos semelhantes e passando 30 para o lado esquerdo:
x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 16y - 2z + (9+64+1-30) = 0,
x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 16y - 2z + 44 = 0.

Passo 7

Verificação rápida: substituir o ponto (4,3,-1) na forma centro–raio dá
(4-3)^2 + (3-8)^2 + (-1-1)^2 = 1 + 25 + 4 = 30,
logo o ponto realmente está na esfera — checagem concluída. Força aí, já era!

Resposta

(x-3)^2 + (y-8)^2 + (z-1)^2 = 30
x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 16y - 2z + 44 = 0

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