Encontre uma equação da esfera que passa pelo ponto
e tem centro em (3, 8, 1).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma equação:
- A esfera passa pelo ponto
. - O centro da esfera é
. - Pergunta: encontrar uma equação da esfera que satisfaz essas condições.
Passo 2
A forma padrão (centro–raio) da equação de uma esfera com centro em
e raio
é
Explicando:
são as coordenadas de um ponto genérico qualquer na esfera;
é o centro;
é a distância do centro a qualquer ponto da esfera. Nosso objetivo será determinar
usando o ponto dado e o centro fornecido.
Passo 3
Para achar
usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Se temos dois pontos
e
, a distância entre eles é obtida aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes e resulta em
Aqui cada diferença
mede a projeção da distância ao longo de cada eixo; somando os quadrados e tirando raiz obtemos a distância direta no espaço 3D.
Passo 4
Aplicamos a fórmula da distância entre o centro
e o ponto
. Calculamos as diferenças coordenada a coordenada:
Agora os quadrados dessas diferenças:
Somando e lembrando que
é justamente essa soma (antes de tirar raiz):
Passo 5
Substituímos o centro
e
na forma padrão da esfera. Assim obtemos a equação na forma centro–raio:
Passo 6
Se quiser a forma expandida (polinomial) — às vezes pedida em provas — expandimos cada quadrado e somamos os termos constantes. Expandindo:
Somando os três e igualando a
:
Agrupando termos semelhantes e passando
para o lado esquerdo:
Passo 7
Verificação rápida: substituir o ponto
na forma centro–raio dá
logo o ponto realmente está na esfera — checagem concluída. Força aí, já era!