Determine a equação da esfera que possui as extremidades de um diâmetro nos pontos (3,-2,6) e (-1,4,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera cujo diâmetro tem extremidades nos pontos (3,-2,6) e (-1,4,2). Vamos usar geometria analítica: calculamos o centro como ponto médio e o raio como metade da distância entre as extremidades.

Passo 2

Centro da esfera é o ponto médio dos extremos do diâmetro. Para isso, usamos
xc = 3 + (-1)2, yc = -2 + 42, zc = 6 + 22
Logo, C=(xc,yc,zc)=(1,1,4).

Passo 3

Para achar o raio, primeiro calculamos a distância entre os dois pontos pelo teorema de Pitágoras em 3D:
d = raiz(3-(-1))^2 + (-2-4)^2 + (6-2)^2 = raiz4^2 + (-6)^2 + 4^2 = raiz16+36+16 = raiz68
Como esse é o comprimento do diâmetro, o raio é
r = d2 = raiz682 = raiz17

Passo 4

A equação geral de uma esfera de centro C=(xc,yc,zc) e raio r é
(x - xc)^2 + (y - yc)^2 + (z - zc)^2 = r^2
Substituindo C=(1,1,4) e r^2 = 17, obtemos a forma desejada.

Resposta

(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-4)^2 = 17

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