Determine a equação padrão da esfera de centro (2,4,3) e de raio 3 . Essa esfera intercepta o plano x y ?

Passo 1

O enunciado pede a equação padrão de uma esfera de centro em (2,4,3) e raio 3, e em seguida verificar se essa esfera intercepta o plano xy, que é o plano definido por z=0. Vamos usar a fórmula geral da esfera e depois substituir z=0 para ver se há pontos em comum.

Passo 2

A equação padrão de uma esfera de centro (x0,y0,z0) e raio r é
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
Aqui temos (x0,y0,z0)=(2,4,3) e r=3. Substituindo:
(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 3^2 = 9

Passo 3

Para ver se a esfera intercepta o plano xy (ou seja, z=0), fazemos z=0 na equação da esfera:
(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 9 Longrightarrow (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + 9 = 9 Longrightarrow (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 0
A única solução é x-2=0 e y-4=0, ou seja x=2 e y=4.

Passo 4

Concluímos que a esfera toca o plano xy em exatamente um ponto, o que significa que ela é tangente a esse plano. Esse ponto de tangência é (2,4,0).

Resposta

(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 3)^2 = 9
Sim, a esfera intercepta (é tangente a) o plano xy num único ponto, que é (2,4,0).

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