Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais da função
e depois esboçar o gráfico. Vamos usar limites no infinito para as assíntotas e estudar domínio e monotonia para o esboço.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como
e
estão bem definidos para todo
, o domínio é todo
. Logo não há situações de divisão por zero nem raízes de índice par sobre número negativo, portanto não existem assíntotas verticais.
Passo 3
Para ver se há assíntotas horizontais, calculamos os limites em
e
.
Em :
Em
pois o termo
pois
domina. Logo não há assíntota horizontal.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, estudamos a derivada:
Passo 5
Colocando em evidência
:
Passo 6
A derivada anula-se em
, ou seja em
. Testando o sinal: para
temos
e
, então
(função decrescente); para
fica
(função crescente). Portanto há um mínimo local em
.
Passo 7
O valor desse mínimo é
Passo 8
Finalmente, anotamos alguns pontos e comportamentos:
-
. -
tanto em quanto em .
Como resultado, o gráfico desce deaté o mínimo em , depois sobe passando por e segue para sem ter nenhum tipo de assíntota.
O esboço é uma curva contínua, com um vale em, que não tangencia nenhuma reta no infinito.
Resposta
Assíntotas horizontais: nenhuma. Assíntotas verticais: nenhuma. Esboço: curva que vem de +∞ em x→−∞, atinge mínimo local em (−1/8,−3/8), passa por (0,0) e sobe para +∞ em x→+∞.