Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=x^1 / 3+2 x^4 / 3

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=x^1/3+2x^4/3 e depois esboçar o gráfico. Vamos usar limites no infinito para as assíntotas e estudar domínio e monotonia para o esboço.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f(x). Como x^1/3 e x^4/3 estão bem definidos para todo xinR, o domínio é todo R. Logo não há situações de divisão por zero nem raízes de índice par sobre número negativo, portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para ver se há assíntotas horizontais, calculamos os limites em xto+infty e xto-infty.
Em xto+infty:
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(x^1/3+2x^4/3r)=+infty,
pois o termo 2x^4/3 cresce sem bound. Em xto-infty:
limxto-inftyf(x)=limtto+inftyl((-t)^1/3+2(-t)^4/3r)=limtto+inftyl(-t^1/3+2t^4/3r)=+infty,
pois 2t^4/3 domina. Logo não há assíntota horizontal.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, estudamos a derivada:
f'(x)=13x^-2/3+83x^1/3

Passo 5

Colocando em evidência x^-2/3:
f'(x)=13x^-2/3l(1+8xr)

Passo 6

A derivada anula-se em 1+8x=0, ou seja em x=-1/8. Testando o sinal: para x<-1/8 temos 1+8x<0 e x^-2/3>0, então f'<0 (função decrescente); para x>-1/8 fica f'>0 (função crescente). Portanto há um mínimo local em x=-1/8.

Passo 7

O valor desse mínimo é
f(-1/8)=(-1/8)^1/3+2(-1/8)^4/3=-tfrac12+2cdottfrac116=-tfrac12+tfrac18=-tfrac38

Passo 8

Finalmente, anotamos alguns pontos e comportamentos:
  • f(0)=0.
  • f(x)to+infty tanto em xto+infty quanto em xto-infty.
    Como resultado, o gráfico desce de +infty até o mínimo em (-1/8,-3/8), depois sobe passando por (0,0) e segue para +infty sem ter nenhum tipo de assíntota.
    O esboço é uma curva contínua, com um vale em (-0.125,-0.375), que não tangencia nenhuma reta no infinito.

Resposta

Assíntotas horizontais: nenhuma. Assíntotas verticais: nenhuma. Esboço: curva que vem de +∞ em x→−∞, atinge mínimo local em (−1/8,−3/8), passa por (0,0) e sobe para +∞ em x→+∞.

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