Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral
. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar dividir a integral em duas partes: uma com
e outra com
, e resolver cada uma separadamente usando essa técnica. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas:
Isso facilita porque podemos resolver cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
. Para resolver isso, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher qual parte da expressão será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como parte que simplifica quando derivada.
Passo 4
Para
, escolhemos:
-
(porque ao derivar, simplifica) -
(a parte que resta)
Agora, vamos encontrar
e
:
-
(derivando ) -
(integrando )
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora temos uma nova integral:
, que também vamos resolver por integração por partes.
Passo 6
Para a integral
, escolhemos novamente:
Então,
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Voltando à primeira integral:
Então, a primeira parte da integral está resolvida.
Passo 8
Agora, vamos para a segunda integral:
. Usaremos novamente a integração por partes, talvez mais de uma vez.
Passo 9
Para
, escolhemos:
Então,
-
-
(porque a integral de é )
Passo 10
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver
, que também será feita por integração por partes.
Passo 11
Para
, escolhemos:
Então,
-
-
(porque a integral de é )
Passo 12
Aplicando a fórmula:
Passo 13
Voltando à segunda integral:
Então, a segunda parte da integral está resolvida.
Passo 14
Agora, juntando as duas partes que resolvemos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: