integral x^2(e^x+sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral integral x^2(e^x+sin x) dx. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar dividir a integral em duas partes: uma com e^x e outra com sin x, e resolver cada uma separadamente usando essa técnica. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas:
integral x^2e^x dx + integral x^2sin x , dx
Isso facilita porque podemos resolver cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral x^2e^x dx. Para resolver isso, usamos a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da expressão será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como parte que simplifica quando derivada.

Passo 4

Para integral x^2e^x dx, escolhemos:
  • u = x^2 (porque ao derivar, simplifica)
  • dv = e^x dx (a parte que resta)
Agora, vamos encontrar du e v:
  • du = 2x , dx (derivando u)
  • v = e^x (integrando dv)

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2e^x dx = x^2e^x - integral e^x cdot 2x , dx
Agora temos uma nova integral: 2 integral x e^x dx, que também vamos resolver por integração por partes.

Passo 6

Para a integral 2 integral x e^x dx, escolhemos novamente:
  • u = x
  • dv = e^x dx
Então,
  • du = dx
  • v = e^x
Aplicando a fórmula:
2 ( x e^x - integral e^x cdot 1 , dx ) = 2 ( x e^x - e^x ) = 2 e^x (x - 1)

Passo 7

Voltando à primeira integral:
integral x^2e^x dx = x^2e^x - 2 e^x (x - 1) = e^x (x^2 - 2x + 2)
Então, a primeira parte da integral está resolvida.

Passo 8

Agora, vamos para a segunda integral: integral x^2sin x , dx. Usaremos novamente a integração por partes, talvez mais de uma vez.

Passo 9

Para integral x^2sin x , dx, escolhemos:
  • u = x^2
  • dv = sin x , dx
Então,
  • du = 2x , dx
  • v = -cos x (porque a integral de sin x é -cos x)

Passo 10

Aplicando a fórmula:
integral x^2sin x , dx = -x^2cos x + integral 2x cos x , dx
Agora, precisamos resolver integral 2x cos x , dx, que também será feita por integração por partes.

Passo 11

Para integral 2x cos x , dx, escolhemos:
  • u = 2x
  • dv = cos x , dx
Então,
  • du = 2 , dx
  • v = sin x (porque a integral de cos x é sin x)

Passo 12

Aplicando a fórmula:
integral 2x cos x , dx = 2x sin x - integral 2 sin x , dx = 2x sin x + 2 cos x

Passo 13

Voltando à segunda integral:
integral x^2sin x , dx = -x^2cos x + 2x sin x + 2 cos x
Então, a segunda parte da integral está resolvida.

Passo 14

Agora, juntando as duas partes que resolvemos:
integral x^2(e^x+sin x) dx = e^x (x^2 - 2x + 2) - x^2cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x^2(e^x+sin x) dx é igual a:
e^x (x^2 - 2x + 2) - x^2cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

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