1. Determine a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um dos vértices no ponto B1(0,-7) e passa no ponto A(raiz5, 14 / 3).

Passo 1

O enunciado pede a equação e a excentricidade de uma elipse centrada na origem, com um de seus vértices em B1(0,-7) e que passa pelo ponto A(raiz5,,14/3). Como o vértice está sobre o eixo y, concluímos que o semieixo maior é vertical e tem comprimento
a = 7
A forma geral da elipse alinhada aos eixos é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
onde a>= b>0.

Passo 2

Substituímos a=7 na equação canônica, ficando
x^2b^2 + y^249 = 1
Como a elipse passa por A(raiz5,,14/3), esse ponto satisfaz a equação.

Passo 3

Inserimos as coordenadas de A na equação:
(raiz5)^2b^2 + l(tfrac143r)^249 = 1
Isso dá
5b^2 + 196/949 = 1 Longrightarrow 5b^2 + 196441 = 1 Longrightarrow 5b^2 + 49 = 1

Passo 4

Resolvendo para b^2:
5b^2 = 1 - 49 = 59 Longrightarrow b^2 = 9
Logo a equação da elipse é
x^29 + y^249 = 1

Passo 5

A excentricidade de uma elipse é
e = raiza^2 - b^2a
Aqui a^2 = 49 e b^2 = 9, logo
e = raiz49 - 97 = raiz407 = 2raiz107

Resposta

Equação: x^29 + y^249 = 1
Excentricidade: e = 2raiz107

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