Se v=(1,2,-2) e w=(3,0,1),
(a) Calcule v times w;
(b) Encontre um vetor u tal que |u|=3 raiz3 e u seja simultaneamente ortogonal a v e w.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas envolvendo produto vetorial em R^3:
  1. Calcular vtimesw para v=(1,2,-2) e w=(3,0,1).
  2. Encontrar um vetor u de norma |u|=3raiz3 que seja ortogonal simultaneamente a v e a w.
    Para isso, vamos usar a definição de produto vetorial por determinante e a propriedade de que vtimesw é ortogonal tanto a v quanto a w.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do produto vetorial
vtimesw = i & j & k 1 & 2 & -2 3 & 0 & 1 = i(2cdot1 - (-2)cdot0);-;j(1cdot1 - (-2)cdot3);+;k(1cdot0 - 2cdot3)

Passo 3

Calculando cada componente:
i-componente: 2cdot1 - (-2)cdot0 = 2,
j-componente: -(1cdot1 -(-2)cdot3) = -(1+6) = -7,
k-componente: 1cdot0 - 2cdot3 = -6.
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vtimesw = (2,,-7,,-6)

Passo 4

Qualquer vetor ortogonal a v e w é múltiplo de vtimesw. Assim, escrevemos
u = lambda,(2,,-7,,-6)

Passo 5

Para determinar lambda, usamos a condição |u|=3raiz3. Primeiro calculamos |vtimesw|:
|,(2,-7,-6)|;=;raiz2^2 + (-7)^2 + (-6)^2 =raiz4 + 49 + 36 =raiz89
Como |u|=|lambda|raiz89=3raiz3, temos
|lambda| = 3raiz3raiz89

Passo 6

Escolhendo o sinal positivo para lambda, obtemos
u = 3raiz3raiz89,(2,,-7,,-6) =l(tfrac6raiz3raiz89,,-tfrac21raiz3raiz89,,-tfrac18raiz3raiz89r)

Resposta

(a) vtimesw = (2,-7,-6).
(b) Um vetor com |u|=3raiz3 e ortogonal a v,w é
u = 3raiz3raiz89,(2,,-7,,-6)

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