1. Determine as retas tangentes à elipse x^2a^2+y^2b^2=1 com declividade m=1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as retas tangentes à elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
cuja declividade (inclinação) é m=1.
Vamos usar a forma geral da reta com declive m,
y = m x + c,
substituir na equação da elipse e impor que o sistema tenha uma única solução (discriminante zero).

Passo 2

Substituindo y = m x + c na elipse, obtemos
x^2a^2 ;+;(m x + c)^2b^2 ;=;1
Isso é uma equação quadrática em x:
l(tfrac1a^2 + tfracm^2b^2r),x^2 ;+; 2m,cb^2,x ;+; l(tfracc^2b^2 - 1r) ;=;0
Para que seja tangente, o discriminante deve ser zero.

Passo 3

O discriminante é
De<a =l(tfrac2m,cb^2r)^2 -4l(tfrac1a^2 + tfracm^2b^2r)l(tfracc^2b^2-1r) ;=;0
Fazendo as contas (simplificando) chega-se a
c^2 ;=; b^2 ;+; m^2a^2

Passo 4

Como queremos m=1, substituímos e obtemos
c^2 = b^2 + a^2,
logo
c = pmraiza^2 + b^2

Passo 5

As duas retas de declive 1 que tangenciam a elipse são
y = x + raiza^2 + b^2 e y = x - raiza^2 + b^2

Resposta

As retas são
y = x + raiza^2 + b^2 e y = x - raiza^2 + b^2

Exercícios relacionados