Determine a equação da família de elipses com centro ( 2,3 ), reta focal paralela ao eixo O X e excentricidade 12.

Passo 1

O enunciado pede a família de elipses de excentricidade e=tfrac12, com centro em (2,3) e eixo maior horizontal (paralelo a OX). Vamos usar a forma canônica da elipse e a relação entre semi-eixos e excentricidade.

Passo 2

A forma canônica de uma elipse com centro em (h,k), semi-eixo maior horizontal a e semi-eixo menor vertical b é
(x-h)^2a^2 ;+;(y-k)^2b^2=1,
com a>b>0.

Passo 3

A excentricidade satisfaz e=ca onde c^2=a^2-b^2. Para e=tfrac12 temos
c=a2 Longrightarrow b^2=a^2-c^2 =a^2-l(a2r)^2 =a^2-a^24 =3a^24

Passo 4

Substituindo (h,k)=(2,3) e b^2=tfrac3a^24 na forma canônica,
(x-2)^2a^2 ;+;(y-3)^2tfrac3a^24=1 ;Long<=ftrightarrow; (x-2)^2a^2 ;+;4(y-3)^23a^2=1,
onde o parâmetro livre é a>0.

Resposta

(x-2)^2a^2 ;+;4(y-3)^23a^2=1, a>0

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