Considere as retas r1: 3 x+4 y=2 e r2: 3 x+4 y=-3. Determine, em função do parâmetro, a equação da família de círculos tangentes às retas r1 e r2. Se o centro do círculo pertence à reta l: x+y=1, encontre sua equação.

Passo 1

O enunciado pede dois itens sobre círculos em R^2:
1. A família de todos os círculos que sejam simultaneamente tangentes às retas
r1:3x+4y=2
e
r2:3x+4y=-3
2. Dentre essa família, o círculo cujo centro também pertence à reta
l:x+y=1
O conteúdo envolvido é geometria analítica: usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta e a condição de tangência (distância do centro à reta = raio).

Passo 2

Primeiro, calculamos a distância entre as retas r1 e r2. Como são paralelas, essa distância é
d=l|2-(-3)r|raiz3^2+4^2 =55 =1
Um círculo tangente a ambas deve ter raio
r=d2=12

Passo 3

Seja o centro do círculo C=(h,k). A condição de tangência a r1 e a r2 é
l|3h+4k-2r|5 =12 e l|3h+4k+3r|5 =12
Igualando essas duas distâncias (e usando propriedades de valor absoluto) obtemos
3h+4k=-tfrac12
Logo, o centro C varia sobre a reta
3x+4y+tfrac12=0

Passo 4

Para escrever a família em função de um parâmetro t, parametrizamos essa reta por
h=t, k=-12cdot4-3t4 =-18-3t4
O raio é fixo r=tfrac12. Assim a família é
(x-h)^2+(y-k)^2 =(tfrac12)^2
ou seja
l(x-tr)^2 +l(y+tfrac3t4+tfrac18r)^2 =14, tinR

Passo 5

Agora impomos que o centro l(t,,-tfrac18-tfrac3t4r) pertença também à reta l:x+y=1. Então
t+l(-tfrac18-tfrac3t4r)=1 ;;Longrightarrow;; t4-18=1 ;;Longrightarrow;; t4=98 ;;Longrightarrow;; t=92
O centro fica
C=l(tfrac92,,-tfrac18-tfrac3cdot(9/2)4r) =l(tfrac92,,-tfrac12-tfrac278r) =l(tfrac92,,-tfrac72r)
Mantendo r=tfrac12, a equação do círculo procurado é
l(x-tfrac92r)^2 +l(y+tfrac72r)^2 =14

Resposta

Equação da família de círculos tangentes a r1 e r2:
l(x-tr)^2 +l(y+tfrac3t4+tfrac18r)^2 =14, tinR
Para o círculo cujo centro também está em x+y=1, a equação é
l(x-tfrac92r)^2 +l(y+tfrac72r)^2 =14

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