Considere as retas e . Determine, em função do parâmetro, a equação da família de círculos tangentes às retas e . Se o centro do círculo pertence à reta , encontre sua equação.
Passo 1
O enunciado pede dois itens sobre círculos em :
. A família de todos os círculos que sejam simultaneamente tangentes às retas
e
. Dentre essa família, o círculo cujo centro também pertence à reta
O conteúdo envolvido é geometria analítica: usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta e a condição de tangência (distância do centro à reta raio).
Passo 2
Primeiro, calculamos a distância entre as retas e . Como são paralelas, essa distância é
Um círculo tangente a ambas deve ter raio
r=d2=12
Passo 3
Seja o centro do círculo C=(h,k). A condição de tangência a r1 e a r2 é
l|3h+4k-2r|5 =12 e l|3h+4k+3r|5 =12
Igualando essas duas distâncias (e usando propriedades de valor absoluto) obtemos
3h+4k=-tfrac12
Logo, o centro C varia sobre a reta
3x+4y+tfrac12=0
Passo 4
Para escrever a família em função de um parâmetro t, parametrizamos essa reta por
h=t, k=-12cdot4-3t4 =-18-3t4
O raio é fixo r=tfrac12. Assim a família é
(x-h)^2+(y-k)^2 =(tfrac12)^2
ou seja
l(x-tr)^2 +l(y+tfrac3t4+tfrac18r)^2 =14, tinR
Passo 5
Agora impomos que o centro l(t,,-tfrac18-tfrac3t4r) pertença também à reta l:x+y=1. Então