Suponha que a reta r: 3 x-2 y=1 seja tangente a um círculo C com centro no ponto ( 2,3 ).
a) Calcule o raio do círculo C.
b) Encontre o ponto de tangência da reta r com o círculo C.
c) Determine a reta que tangencia C e é paralela a r.

Passo 1

O enunciado diz que a reta rcolon 3x-2y=1 é tangente a um círculo C de centro C=(2,3). Precisamos de três coisas:
  1. O raio de C, que é a distância de C até r.
  2. O ponto de tangência, que é o pé da perpendicular de C sobre r.
  3. A reta paralela a r que também toca C.

Passo 2

Para achar o raio usamos a fórmula da distância de um ponto (x0,y0) à reta ax+by+c=0:
d = l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2+b^2
Aqui a=3, b=-2, c=-1 (pois escrevemos 3x-2y-1=0) e (x0,y0)=(2,3). Logo
d = l|3cdot2 + (-2)cdot3 -1r|raiz3^2+(-2)^2 =|6-6-1|raiz9+4 =1raiz13
Esse é o raio de C.

Passo 3

O ponto de tangência é o pé da perpendicular de C em r. A fórmula para as coordenadas do pé (xp,yp) é
xp = x0 - aax0+by0+ca^2+b^2, yp = y0 - bax0+by0+ca^2+b^2
Substituindo os valores:
ax0+by0+c = 6-6-1 = -1, a^2+b^2 = 13
Logo
xp = 2 - 3cdotl(-113r) = 2 + 313 = 2913, yp = 3 - (-2)cdotl(-113r) = 3 - 213 = 3713

Passo 4

Uma reta paralela a r tem a forma 3x - 2y = k. Para que ela seja tangente a C de mesmo raio, a distância de C a essa reta deve ser tfrac1raiz13. Assim
l|3cdot2 -2cdot3 - kr|raiz13 = 1raiz13 ;Longrightarrow; |,6-6-k,|=1 ;Longrightarrow; |k|=1
As soluções são k=1 (que é a reta original) e k=-1. A nova reta é
3x - 2y = -1

Resposta

a) O raio é 1raiz13.
b) O ponto de tangência é l(tfrac2913,tfrac3713r).
c) A reta paralela e tangente é 3x-2y=-1.

Exercícios relacionados