Os pontos V1=(7,1) e V2=(2,5) são vértices de uma elipse E cuja reta focal é paralela a um dos eixos do sistema O X Y.
a) Determine o centro, a reta focal, a reta não-focal, os outros vértices e os focos da elipse, sabendo que V1 pertence à reta focal.
b) Determine o centro, a reta focal, a reta não-focal, os outros vértices e os focos da elipse, sabendo que V2 pertence à reta focal.
c) Encontre as equações das elipses dos itens a) e b).
d) Elabore um esboço das elipses determinadas em c) num mesmo sistema de eixos ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos V1=(7,1) e V2=(2,5) que são dois dos quatro vértices de uma elipse E. Sabe‐se que o eixo focal (o eixo maior) é paralelo a um dos eixos do sistema OXY. Em (a) V1 pertence ao eixo focal (é um vértice principal) e em (b) V2 pertence ao eixo focal. Precisamos, em cada caso, achar o centro, as retas do eixo focal e do eixo não‐focal, os demais vértices e os focos; depois escrever a equação padrão e, por fim, esboçar as duas elipses num mesmo sistema.

Passo 2

Para (a) tomamos V1=(7,1) no eixo focal. Se ele fosse vertical, o centro seria (7,k) e o outro vértice principal também teria x=7, mas V2 não satisfaz isso.
Logo o eixo maior é horizontal, de equação y=1. O centro (h,k) satisfaz k=1. Como V2=(2,5) é vértice menor na reta não‐focal vertical x=h, temos h=2.
Assim o centro é
(h,k) = (2,1)
A semi‐distância maior é
a = |7-2| = 5,
e a menor é
b = |5-1| = 4
Calcula‐se
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9, c = 3
Os focos ficam em (2pm3,1), i.e.\ (5,1) e (-1,1).
Os vértices principais são
(7,1) e (-3,1),
e os menores são
(2,5) e (2,-3)

Passo 3

Para (b) tomamos V2=(2,5) no eixo focal. Se ele fosse vertical, o centro seria (2,k) e o outro vértice principal teria x=2, o que não ocorre com V1.
Logo o eixo maior é horizontal, de equação y=5. O centro (h,k) satisfaz k=5. Como V1=(7,1) é vértice menor na reta não‐focal vertical x=h, temos h=7.
Então o centro é
(h,k) = (7,5)
Temos
a = |2-7| = 5, b = |1-5| = 4, c^2 = 25 - 16 = 9, c = 3
Os focos são (7pm3,5), i.e.\ (4,5) e (10,5).
Os vértices principais são
(2,5) e (12,5),
e os menores
(7,1) e (7,9)

Passo 4

A forma padrão de uma elipse com eixo maior horizontal, centro (h,k), semi‐eixos a (horizontal) e b (vertical) é
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Para (a): (h,k)=(2,1), a^2=25, b^2=16, fica
(x-2)^225 ; + ; (y-1)^216 ; = ; 1
Para (b): (h,k)=(7,5), a^2=25, b^2=16, fica
(x-7)^225 ; + ; (y-5)^216 ; = ; 1

Passo 5

No mesmo sistema de eixos ortogonais desenhe duas elipses com semi‐eixos a=5 (horizontal) e b=4 (vertical), centradas em (2,1) e (7,5).
A elipse de centro (2,1) varia em x de -3 a 7 e em y de -3 a 5;
a de centro (7,5) varia em x de 2 a 12 e em y de 1 a 9.
Marque centros, vértices e focos e trace as curvas suaves.

Resposta

(a) Centro (2,1); eixo focal y=1; eixo não‐focal x=2; vértices principais (7,1), (-3,1); vértices menores (2,5), (2,-3); focos (5,1), (-1,1).
(b) Centro (7,5); eixo focal y=5; eixo não‐focal x=7; vértices principais (2,5), (12,5); vértices menores (7,1), (7,9); focos (4,5), (10,5).
(c) (x-2)^225+(y-1)^216=1 e (x-7)^225+(y-5)^216=1.
(d) Esboço conforme descrito no Passo 5.

Exercícios relacionados