Os pontos
e
são vértices de uma elipse
cuja reta focal é paralela a um dos eixos do sistema
.
a) Determine o centro, a reta focal, a reta não-focal, os outros vértices e os focos da elipse, sabendo que
pertence à reta focal.
b) Determine o centro, a reta focal, a reta não-focal, os outros vértices e os focos da elipse, sabendo que
pertence à reta focal.
c) Encontre as equações das elipses dos itens a) e b).
d) Elabore um esboço das elipses determinadas em c) num mesmo sistema de eixos ortogonais.
a) Determine o centro, a reta focal, a reta não-focal, os outros vértices e os focos da elipse, sabendo que
b) Determine o centro, a reta focal, a reta não-focal, os outros vértices e os focos da elipse, sabendo que
c) Encontre as equações das elipses dos itens a) e b).
d) Elabore um esboço das elipses determinadas em c) num mesmo sistema de eixos ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos
e
que são dois dos quatro vértices de uma elipse
. Sabe‐se que o eixo focal (o eixo maior) é paralelo a um dos eixos do sistema
. Em (a)
pertence ao eixo focal (é um vértice principal) e em (b)
pertence ao eixo focal. Precisamos, em cada caso, achar o centro, as retas do eixo focal e do eixo não‐focal, os demais vértices e os focos; depois escrever a equação padrão e, por fim, esboçar as duas elipses num mesmo sistema.
Passo 2
Para (a) tomamos
no eixo focal. Se ele fosse vertical, o centro seria
e o outro vértice principal também teria
, mas
não satisfaz isso.
Logo o eixo maior é horizontal, de equação . O centro
satisfaz
. Como
é vértice menor na reta não‐focal vertical
, temos
.
Assim o centro é
Logo o eixo maior é horizontal, de equação
Assim o centro é
A semi‐distância maior é
e a menor é
Calcula‐se
Os focos ficam em
, i.e.\
e
.
Os vértices principais são
Os vértices principais são
e os menores são
Passo 3
Para (b) tomamos
no eixo focal. Se ele fosse vertical, o centro seria
e o outro vértice principal teria
, o que não ocorre com
.
Logo o eixo maior é horizontal, de equação . O centro
satisfaz
. Como
é vértice menor na reta não‐focal vertical
, temos
.
Então o centro é
Logo o eixo maior é horizontal, de equação
Então o centro é
Temos
Os focos são
, i.e.\
e
.
Os vértices principais são
Os vértices principais são
e os menores
Passo 4
A forma padrão de uma elipse com eixo maior horizontal, centro
, semi‐eixos
(horizontal) e
(vertical) é
Para (a):
,
,
, fica
Para (b):
,
,
, fica
Passo 5
No mesmo sistema de eixos ortogonais desenhe duas elipses com semi‐eixos
(horizontal) e
(vertical), centradas em
e
.
A elipse de centro varia em
de
a
e em
de
a
;
a de centro varia em
de
a
e em
de
a
.
Marque centros, vértices e focos e trace as curvas suaves.
A elipse de centro
a de centro
Marque centros, vértices e focos e trace as curvas suaves.
Resposta
(a) Centro
; eixo focal
; eixo não‐focal
; vértices principais
,
; vértices menores
,
; focos
,
.
(b) Centro ; eixo focal
; eixo não‐focal
; vértices principais
,
; vértices menores
,
; focos
,
.
(c) e
.
(d) Esboço conforme descrito no Passo .
(b) Centro
(c)
(d) Esboço conforme descrito no Passo