(a) Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos.
Passo 1
A gente tem dois planos no espaço dados por e . O que o enunciado pede é (a) a equação simétrica da reta que é a interseção desses planos e (b) o ângulo entre eles. Para isso vamos usar conceito de produto vetorial (para a direção da reta) e a fórmula do ângulo entre planos (ângulo entre normais).
Passo 2
Os vetores normais aos planos são e . A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial . Calculando em bloco:
Passo 3
Para achar um ponto na reta, subtraímos as equações dos planos:
(2x+y+z)-(x-2y+z)=0 Rightarrow x+3y=0 Rightarrow x=-3y
Substituindo em x-2y+z=1 dá -3y-2y+z=1 então z=1+5y. Se a gente parametrizar y=t, vem x=-3t, y=t, z=1+5t
Escolhendo t=0 fica o ponto (0,0,1).
Passo 4
Com ponto (0,0,1) e vetor diretor (-3,1,5), a equação simétrica da reta é
x-0-3=y-01=z-15
Passo 5
Para o ângulo entre planos usamos que é o mesmo ângulo entre os normais:
costheta=|n1cdotn2||n1|,|n2|
Aqui n1cdotn2=1cdot2+(-2)cdot1+1cdot1=1 e |n1|=|n2|=raiz6. Logo costheta=16,theta=arccosl(tfrac16r)
Resposta
a) dfracx-3=dfracy1=dfracz-15.
b) theta=arccosl(tfrac16r).