(a) Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos.
x-2 y+z=1, 2 x+y+z=1

Passo 1

A gente tem dois planos no espaço dados por x - 2y + z = 1 e 2x + y + z = 1. O que o enunciado pede é (a) a equação simétrica da reta que é a interseção desses planos e (b) o ângulo entre eles. Para isso vamos usar conceito de produto vetorial (para a direção da reta) e a fórmula do ângulo entre planos (ângulo entre normais).

Passo 2

Os vetores normais aos planos são n1 = (1, -2, 1) e n2 = (2, 1, 1). A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial d = n1 times n2. Calculando em bloco:
n1 times n2 = i & j & k 1 & -2 & 1 2 & 1 & 1 = (-3,,1,,5)

Passo 3

Para achar um ponto na reta, subtraímos as equações dos planos:
(2x+y+z)-(x-2y+z)=0 Rightarrow x+3y=0 Rightarrow x=-3y
Substituindo em x-2y+z=1 -3y-2y+z=1 então z=1+5y. Se a gente parametrizar y=t, vem
x=-3t, y=t, z=1+5t
Escolhendo t=0 fica o ponto (0,0,1).

Passo 4

Com ponto (0,0,1) e vetor diretor (-3,1,5), a equação simétrica da reta é
x-0-3=y-01=z-15

Passo 5

Para o ângulo entre planos usamos que é o mesmo ângulo entre os normais:
costheta=|n1cdotn2||n1|,|n2|
Aqui n1cdotn2=1cdot2+(-2)cdot1+1cdot1=1 e |n1|=|n2|=raiz6. Logo
costheta=16,theta=arccosl(tfrac16r)

Resposta

a) dfracx-3=dfracy1=dfracz-15.
b) theta=arccosl(tfrac16r).

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