Mostre que T de R^3 em R^2 dada por T(x, y, z)=(x+y, y+z) é uma transformação linear. Determine uma base do Ker(T) e a dimensão da Im(T).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
O conteúdo é transformação linear; vamos mostrar que satisfaz aditividade e homogeneidade, depois achar e .

Passo 2

Para quaisquer (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)inR^3 e lambdainR, temos
Tl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = T(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = (x1+x2+y1+y2,;y1+y2+z1+z2)
= (x1+y1,;y1+z1)+(x2+y2,;y2+z2) = T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2),
e
Tl(lambda(x,y,z)r) = T(lambda x,lambda y,lambda z) = (lambda x+lambda y,;lambda y+lambda z) = lambda,(x+y,;y+z) = lambda,T(x,y,z)
Logo, T é linear.

Passo 3

Para
Da primeira . Assim
logo

Passo 4

A matriz de na base canônica é
As linhas e são independentes, então . Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,

Resposta

Uma base de é e .

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