Determine, para cada uma das hipérboles:
(I)
,
(II)
,
(III)
,
(IV)
,
(a) a medida (
e
) dos semi-eixos;
(b) os vértices
e
;
(c) os focos
e
;
(d) a excentricidade;
(e) as equações das assíntotas
;
(f) o esboço do gráfico, indicando todos os elementos importantes.
(I)
(II)
(III)
(IV)
(a) a medida (
(b) os vértices
(c) os focos
(d) a excentricidade;
(e) as equações das assíntotas
(f) o esboço do gráfico, indicando todos os elementos importantes.
Passo 1
O enunciado pede determinar, para cada uma das hipérboles (I)
, (II)
, (III)
e (IV)
:
(a) os semi-eixos e
;
(b) os vértices ;
(c) os focos ;
(d) a excentricidade ;
(e) as equações das assíntotas;
(f) o esboço do gráfico com todos esses elementos.
(a) os semi-eixos
(b) os vértices
(c) os focos
(d) a excentricidade
(e) as equações das assíntotas;
(f) o esboço do gráfico com todos esses elementos.
Conteúdo: hipérboles no plano, forma canônica, parâmetros
, definição de excentricidade, vértices, focos, assíntotas e esboço.
Passo 2
Uma hipérbole centrada na origem pode ser escrita em duas formas canônicas:
ou
Nessas formas vale:
Os vértices estão em
na primeira forma e em
na segunda.
Os focos estão em ou
conforme o eixo transversal.
As assíntotas valem
Os focos estão em
As assíntotas valem
no caso horizontal e
no caso vertical.
Passo 3
Hipérbole (I):
. Reescrevendo,
É do tipo vertical com
.
Logo .
Calcula-se
Logo
Calcula-se
Vértices:
,
.
Focos: ,
.
Assíntotas:
Focos:
Assíntotas:
Esboço: dois ramos abertos para cima e para baixo, centros em
, vértices em
, focos em
e assíntotas
.
Passo 4
Hipérbole (II):
. Já está na forma
horizontal, com
.
Logo ,
Logo
Vértices:
,
.
Focos: ,
.
Assíntotas:
Focos:
Assíntotas:
Esboço: ramos à direita e à esquerda, centro na origem, vértices
, focos
, assíntotas
.
Passo 5
Hipérbole (III):
. É horizontal com
Vértices:
,
.
Focos: ,
.
Assíntotas:
Focos:
Assíntotas:
Esboço: ramos horizontais, vértices em
, focos em
, assíntotas
.
Passo 6
Hipérbole (IV):
. É horizontal com
Vértices:
,
.
Focos: ,
.
Assíntotas:
Focos:
Assíntotas:
Esboço: ramos horizontais com vértices em
, focos em
e assíntotas
.
Resposta
(I)
,
;
,
;
,
;
; assíntotas
.
(II) ,
;
,
;
,
;
; assíntotas
.
(III) ,
;
,
;
,
;
; assíntotas
.
(IV) ,
;
,
;
,
;
; assíntotas
.
(II)
(III)
(IV)