Encontre a equação reduzida, em coordenadas cartesianas, de uma hipérbole de centro FORA da origem e eixo real sobre o eixo dos y.

Passo 1

O enunciado quer a forma reduzida (canônica) de uma hipérbole cujo centro não está na origem e cujo eixo real (transversal) é paralelo ao eixo y. Para isso, vamos usar dois conceitos principais:
  1. A forma canônica de uma hipérbole com eixo real vertical e centro na origem.
  2. A transformação de translação de centro (h,k) para deslocar essa forma até o ponto desejado.

Passo 2

Em coordenadas (X,Y) com centro na origem e eixo real vertical, a hipérbole tem equação reduzida
\frac{Y^2}{a^2} \;-\;\frac{X^2}{b^2} \;=\;1,
onde a>0 e b>0.

Passo 3

Para deslocar o centro de (0,0) para (h,k), fazemos a translação
X = x - h, \quad Y = y - k.
Substituindo esses em \frac{Y^2}{a^2}-\frac{X^2}{b^2}=1, obtemos
\frac{(y - k)^2}{a^2} \;-\; \frac{(x - h)^2}{b^2} \;=\; 1.

Resposta

\frac{(y - k)^2}{a^2} \;-\;\frac{(x - h)^2}{b^2} = 1.

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