Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral da cônica que foi dada e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar os conhecimentos de Geometria Analítica, focando nas equações de elipses. Vamos precisar entender como transformar a equação fornecida para a forma geral e identificar os parâmetros essenciais para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que foi dada:
Essa é a forma padrão de uma elipse. Na equação geral de uma elipse, temos:
onde
é o centro da elipse,
é o raio maior e
é o raio menor.
Passo 3
Comparando as duas equações, podemos identificar os seguintes parâmetros:
- Centro
: aqui, e , então o centro é . - Semi-eixo maior
: como , então . - Semi-eixo menor
: como , então .
Passo 4
Agora, vamos transformar a equação padrão para a forma geral. Para isso, vamos expandir os termos e organizar tudo.
Começamos com:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir
:
Substituindo na equação:
Distribuindo o 36:
Passo 6
Agora, vamos juntar todos os termos e levar para um lado da equação:
Simplificando os números:
Podemos simplificar ainda mais dividindo tudo por 3:
Essa é a equação geral da cônica.
Passo 7
Para esboçar o gráfico da elipse, vamos usar os parâmetros que identificamos:
- Centro:
- Semi-eixo maior
(na direção do eixo ) - Semi-eixo menor
(na direção do eixo )
Então, a elipse está centrada em
, estendendo-se 6 unidades para a direita e esquerda, e aproximadamente 5,2 unidades para cima e para baixo a partir do centro.
Resposta
A equação geral da cônica é
E o gráfico é uma elipse centrada em
com semi-eixos de comprimento 6 (horizontal) e
(vertical).