Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
x^236+(y-2)^227=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral da cônica que foi dada e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar os conhecimentos de Geometria Analítica, focando nas equações de elipses. Vamos precisar entender como transformar a equação fornecida para a forma geral e identificar os parâmetros essenciais para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que foi dada:
x^236 + (y-2)^227 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse. Na equação geral de uma elipse, temos:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
onde é o centro da elipse, é o raio maior e é o raio menor.

Passo 3

Comparando as duas equações, podemos identificar os seguintes parâmetros:
  • Centro : aqui, e , então o centro é .
  • Semi-eixo maior : como , então .
  • Semi-eixo menor : como , então .

Passo 4

Agora, vamos transformar a equação padrão para a forma geral. Para isso, vamos expandir os termos e organizar tudo.
Começamos com:
x^236 + (y-2)^227 = 1
Multiplicando todos os termos por 27x^2 + 36(y - 2)^2 = 972 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos expandir (y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4 :
27x^2 + 36(y^2 - 4y + 4) = 972
Substituindo na equação:
27x^2 + 36y^2 - 144y + 144 = 972
Distribuindo o 36:

Passo 6

Agora, vamos juntar todos os termos e levar para um lado da equação:
27x^2 + 36y^2 - 144y + 144 - 972 = 0
Simplificando os números:
27x^2 + 36y^2 - 144y - 828 = 0
Podemos simplificar ainda mais dividindo tudo por 3:
9x^2 + 12y^2 - 48y - 276 = 0
Essa é a equação geral da cônica.

Passo 7

Para esboçar o gráfico da elipse, vamos usar os parâmetros que identificamos:
  • Centro:
  • Semi-eixo maior (na direção do eixo )
  • Semi-eixo menor (na direção do eixo )
Então, a elipse está centrada em , estendendo-se 6 unidades para a direita e esquerda, e aproximadamente 5,2 unidades para cima e para baixo a partir do centro.

Resposta

A equação geral da cônica é
9x^2 + 12y^2 - 48y - 276 = 0
E o gráfico é uma elipse centrada em com semi-eixos de comprimento 6 (horizontal) e (vertical).

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