Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(x-3)^2=4(y-1)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação , que representa uma cônica. Nosso objetivo é encontrar a equação geral dessa cônica e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender como transformar a forma dada em uma forma geral e identificar que tipo de cônica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica é representada pela equação (x - h)^2 = 4p(y - k) . Essa equação está na forma canônica de uma parábola. A forma geral da parábola que abre para cima ou para baixo é:
onde é o vértice da parábola e determina a distância do vértice ao foco.

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação dada para encontrar a equação geral da parábola. Começamos expandindo o lado esquerdo:
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
Substituindo na equação original:
x^2 - 6x + 9 = 4(y - 1)

Passo 4

Em seguida, vamos reorganizar os termos para deixar toda a equação igualada a zero, que é a forma da equação geral:
x^2 - 6x + 9 = 4y - 4
Subtraindo x^2 - 6x - 4y + 13 = 0 e somando x^2 - 6x - 4y + 13 = 0 de ambos os lados:
Então, a equação geral da cônica é:

Passo 5

Para esboçar o gráfico da parábola, vamos identificar alguns elementos importantes:
  • Vértice: A partir da forma canônica , o vértice está no ponto .
  • Abertura: Como o termo envolvendo é positivo, a parábola abre para cima.
  • Direção: A parábola abre verticalmente.
Com essas informações, podemos desenhar uma parábola com o vértice em que se abre para cima.

Resposta

A equação geral da cônica é . O gráfico é uma parábola com vértice no ponto e que se abre para cima.

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