Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação
, que representa uma cônica. Nosso objetivo é encontrar a equação geral dessa cônica e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender como transformar a forma dada em uma forma geral e identificar que tipo de cônica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica é representada pela equação
. Essa equação está na forma canônica de uma parábola. A forma geral da parábola que abre para cima ou para baixo é:
onde
é o vértice da parábola e
determina a distância do vértice ao foco.
Passo 3
Agora, vamos expandir a equação dada para encontrar a equação geral da parábola. Começamos expandindo o lado esquerdo:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Em seguida, vamos reorganizar os termos para deixar toda a equação igualada a zero, que é a forma da equação geral:
Subtraindo
e somando
de ambos os lados:
Então, a equação geral da cônica é:
Passo 5
Para esboçar o gráfico da parábola, vamos identificar alguns elementos importantes:
- Vértice: A partir da forma canônica
, o vértice está no ponto . - Abertura: Como o termo envolvendo
é positivo, a parábola abre para cima. - Direção: A parábola abre verticalmente.
Com essas informações, podemos desenhar uma parábola com o vértice em
que se abre para cima.
Resposta
A equação geral da cônica é
. O gráfico é uma parábola com vértice no ponto
e que se abre para cima.