Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica, mais especificamente uma hipérbole. Nosso desafio é descobrir a equação geral dela, ou seja, uma forma diferente de escrever essa equação, e também esboçar o gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender as características das hipérboles e como manipulamos as equações delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação que a gente tem:
Essa equação está na forma padrão da hipérbole com eixo horizontal:
Aqui, $ (h, k) $ é o centro da hipérbole, $ a $ é a distância do centro até os vértices na direção do eixo x, e $ b $ está relacionado com a inclinação das assíntotas.
Passo 3
Vamos identificar os valores de $ h $, $ k $, $ a $ e $ b $ na nossa equação:
- $ h = -3 $ (porque temos $ x + 3 $)
- $ k = 1 $ (porque temos $ y - 1 $)
- $ a^{2} = 4 $ então $ a = 2 $
- $ b^{2} = 5 $ então $ b = \sqrt{5} $
Passo 4
Agora que sabemos esses valores, podemos encontrar a equação geral da hipérbole expandindo a forma padrão. Vamos multiplicar tudo por 20 (que é o mínimo múltiplo comum de 4 e 5) para eliminar os denominadores:
Isso resulta em:
Agora, vamos expandir os quadrados:
Distribuindo o 5 e o -4:
Simplificando:
Finalmente, movendo o 20 para o outro lado:
Essa é a equação geral da hipérbole.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da hipérbole. Sabemos que o centro é $ (-3, 1) $, e como a equação tem o termo $ (x+3)^{2} $ positivo, a abertura da hipérbole é para os lados esquerdo e direito (horizontal).
Os vértices estão a uma distância $ a = 2 $ do centro, então os vértices são:
As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando vai para o infinito. As equações das assíntotas para uma hipérbole horizontal são:
Substituindo os valores:
Essas são as duas assíntotas da hipérbole.
Resposta
A equação geral da hipérbole é:
E o gráfico da hipérbole tem centro em $ (-3, 1) $, vértices em $ (-5, 1) $ e $ (-1, 1) $, e assíntotas dadas por: