Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(x+3)^24-(y-1)^25=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica, mais especificamente uma hipérbole. Nosso desafio é descobrir a equação geral dela, ou seja, uma forma diferente de escrever essa equação, e também esboçar o gráfico dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender as características das hipérboles e como manipulamos as equações delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação que a gente tem:
(x+3)^24 - (y-1)^25 = 1
Essa equação está na forma padrão da hipérbole com eixo horizontal:
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1
Aqui, $ (h, k) $ é o centro da hipérbole, $ a $ é a distância do centro até os vértices na direção do eixo x, e $ b $ está relacionado com a inclinação das assíntotas.

Passo 3

Vamos identificar os valores de $ h $, $ k $, $ a $ e $ b $ na nossa equação:
  • $ h = -3 $ (porque temos $ x + 3 $)
  • $ k = 1 $ (porque temos $ y - 1 $)
  • $ a^{2} = 4 $ então $ a = 2 $
  • $ b^{2} = 5 $ então $ b = \sqrt{5} $

Passo 4

Agora que sabemos esses valores, podemos encontrar a equação geral da hipérbole expandindo a forma padrão. Vamos multiplicar tudo por 20 (que é o mínimo múltiplo comum de 4 e 5) para eliminar os denominadores:
20 times ( (x+3)^24 - (y-1)^25 ) = 20 times 1
Isso resulta em:
5(x+3)^2 - 4(y-1)^2 = 20
Agora, vamos expandir os quadrados:
5(x^2 + 6x + 9) - 4(y^2 - 2y + 1) = 20
Distribuindo o 5 e o -4:
5x^2 + 30x + 45 - 4y^2 + 8y - 4 = 20
Simplificando:
5x^2 + 30x - 4y^2 + 8y + 41 = 20
Finalmente, movendo o 20 para o outro lado:
5x^2 + 30x - 4y^2 + 8y + 21 = 0
Essa é a equação geral da hipérbole.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da hipérbole. Sabemos que o centro é $ (-3, 1) $, e como a equação tem o termo $ (x+3)^{2} $ positivo, a abertura da hipérbole é para os lados esquerdo e direito (horizontal).
Os vértices estão a uma distância $ a = 2 $ do centro, então os vértices são:
(-3, 1)
As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando vai para o infinito. As equações das assíntotas para uma hipérbole horizontal são:
(x+3)^2
Substituindo os valores:
a = 2
Essas são as duas assíntotas da hipérbole.

Resposta

A equação geral da hipérbole é:
5x^2 + 30x - 4y^2 + 8y + 21 = 0
E o gráfico da hipérbole tem centro em $ (-3, 1) $, vértices em $ (-5, 1) $ e $ (-1, 1) $, e assíntotas dadas por:
(-3, 1)

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