Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(x-2)^216+(y-2)^225=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma cônica, que nesse caso é uma elipse. O que a gente precisa fazer aqui é transformar essa equação que está na forma padrão para a equação geral e, depois, desenhar o gráfico dessa elipse. Para isso, vamos precisar lembrar como expandir expressões quadráticas e identificar as características básicas de uma elipse, como o centro e os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (x - 2)^216 + (y - 2)^225 = 1 é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.
No nosso caso, a equação dada é:
Comparando com a forma padrão, vemos que:
  • então
  • então

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação geral da elipse. Para isso, precisamos expandir os termos e colocar tudo do lado esquerdo da equação.
Começamos expandindo (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 e (y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4 :
x^2 - 4x + 416 + y^2 - 4y + 425 = 1
25(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 - 4y + 4) = 16 times 25
Substituindo de volta na equação original:
25x^2 - 100x + 100 + 16y^2 - 64y + 64 = 400
Agora, vamos multiplicar cada fração pelos denominadores para eliminar os denominadores:
25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y + 164 = 400
Simplificando:
25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y + 164 - 400 = 0
Somando os termos semelhantes:
25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 236 = 0
Finalmente, trazendo 400 para o lado esquerdo:
O que simplifica para:
Essa é a equação geral da elipse.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da elipse. Sabemos que o centro está em , o semi-eixo maior (vertical) e o semi-eixo menor (horizontal).
Então, a elipse estará estendida 5 unidades para cima e para baixo a partir do centro, e 4 unidades para os lados. Vamos desenhar um sistema de coordenadas, marcar o centro em , e traçar a elipse com os eixos mencionados.

Resposta

A equação geral da cônica é:
25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 236 = 0
O gráfico da elipse tem centro em , com semi-eixo maior de 5 unidades (vertical) e semi-eixo menor de 4 unidades (horizontal).

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