Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma cônica, que nesse caso é uma elipse. O que a gente precisa fazer aqui é transformar essa equação que está na forma padrão para a equação geral e, depois, desenhar o gráfico dessa elipse. Para isso, vamos precisar lembrar como expandir expressões quadráticas e identificar as características básicas de uma elipse, como o centro e os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma padrão da equação de uma elipse é:
Aqui,
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
No nosso caso, a equação dada é:
Comparando com a forma padrão, vemos que:
-
-
-
então -
então
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação geral da elipse. Para isso, precisamos expandir os termos e colocar tudo do lado esquerdo da equação.
Começamos expandindo
e
:
Substituindo de volta na equação original:
Agora, vamos multiplicar cada fração pelos denominadores para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Finalmente, trazendo 400 para o lado esquerdo:
O que simplifica para:
Essa é a equação geral da elipse.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da elipse. Sabemos que o centro está em
, o semi-eixo maior
(vertical) e o semi-eixo menor
(horizontal).
Então, a elipse estará estendida 5 unidades para cima e para baixo a partir do centro, e 4 unidades para os lados. Vamos desenhar um sistema de coordenadas, marcar o centro em
, e traçar a elipse com os eixos mencionados.
Resposta
A equação geral da cônica é:
O gráfico da elipse tem centro em
, com semi-eixo maior de 5 unidades (vertical) e semi-eixo menor de 4 unidades (horizontal).