Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Geometria Analítica onde precisamos determinar a equação geral da cônica dada e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender as diferentes formas das equações das cônicas e como identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação dada para a equação geral. A equação que temos é:
Para chegar à equação geral, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 16, que é o mínimo múltiplo comum dos denominadores 4 e 16:
Simplificando cada termo:
Agora, rearranjando para a forma padrão da equação geral:
Ou, de forma mais comum:
Passo 3
Agora, vamos identificar qual é o tipo de cônica representada por essa equação. Observando os sinais dos termos
e
, vemos que eles têm sinais opostos (
positivo e
negativo após rearranjar), o que indica que estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 4
Vamos determinar as características dessa hipérbole:
-
Centro: A hipérbole está centrada na origem
, já que não há termos lineares em ou . -
Eixos Transverso e Conjugado:
- Para a hipérbole da forma
, o eixo transverso é vertical. - Aqui,
então . -
então .
- Para a hipérbole da forma
-
Vértices: São os pontos onde a hipérbole intercepta o eixo transverso. Como o eixo transverso é vertical:
- Vértices:
- Vértices:
-
Assíntotas: São as linhas que a hipérbole se aproxima conforme se estende ao infinito. As equações das assíntotas para essa hipérbole são:
Passo 5
Para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos estes passos:
-
Centro: Marque o ponto
. -
Vértices: Marque os pontos
e . -
Assíntotas: Desenhe as linhas
e . -
Desenho da Hipérbole: A hipérbole terá duas “ramificações” que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.
Resposta
A equação geral da cônica é
. O gráfico dessa cônica é uma hipérbole com centro na origem, vértices em
e
, e assíntotas dadas por
e
.