Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
y^24-x^216=1

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Geometria Analítica onde precisamos determinar a equação geral da cônica dada e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender as diferentes formas das equações das cônicas e como identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação dada para a equação geral. A equação que temos é:
y^24 - x^216 = 1
Para chegar à equação geral, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 16, que é o mínimo múltiplo comum dos denominadores 4 e 16:
16 times (y^24) - 16 times (x^216) = 16 times 1
Simplificando cada termo:
4y^2 - x^2 = 16
Agora, rearranjando para a forma padrão da equação geral:
-x^2 + 4y^2 - 16 = 0
Ou, de forma mais comum:
x^2 - 4y^2 + 16 = 0

Passo 3

Agora, vamos identificar qual é o tipo de cônica representada por essa equação. Observando os sinais dos termos e , vemos que eles têm sinais opostos ( positivo e negativo após rearranjar), o que indica que estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 4

Vamos determinar as características dessa hipérbole:
  1. Centro: A hipérbole está centrada na origem y = pm ab x = pm 24x = pm 12x , já que não há termos lineares em ou .
  2. Eixos Transverso e Conjugado:
    • Para a hipérbole da forma , o eixo transverso é vertical.
    • Aqui, então .
    • então .
  3. Vértices: São os pontos onde a hipérbole intercepta o eixo transverso. Como o eixo transverso é vertical:
    • Vértices:
  4. Assíntotas: São as linhas que a hipérbole se aproxima conforme se estende ao infinito. As equações das assíntotas para essa hipérbole são:

Passo 5

Para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos estes passos:
  1. Centro: Marque o ponto .
  2. Vértices: Marque os pontos e .
  3. Assíntotas: Desenhe as linhas e .
  4. Desenho da Hipérbole: A hipérbole terá duas “ramificações” que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas à medida que se afastam do centro.

Resposta

A equação geral da cônica é . O gráfico dessa cônica é uma hipérbole com centro na origem, vértices em e , e assíntotas dadas por e .

Exercícios relacionados