Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
(x+1)^220+(y-1)^236=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cônicas! A questão pede para determinar a equação geral e esboçar o gráfico da cônica dada pela equação . A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das círculos e elipses. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os elementos de uma elipse e transformar a equação dada na sua forma geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer o tipo de cônica que temos. A equação está na forma:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse, onde é o centro, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Identificando os valores na nossa equação:
(x+1)^220 + (y-1)^236 = 1
Temos:
  • (porque )
  • então
  • então

Passo 4

Agora, vamos transformar a equação para a forma geral. Primeiro, expandimos os quadrados:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1
Substituindo na equação original:
x^2 + 2x + 120 + y^2 - 2y + 136 = 1

Passo 5

Multiplicamos todos os termos por 180 (o mínimo múltiplo comum de 20 e 36) para eliminar os denominadores:
9(x^2 + 2x + 1) + 5(y^2 - 2y + 1) = 180
Distribuindo:
9x^2 + 18x + 9 + 5y^2 - 10y + 5 = 180

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
9x^2 + 5y^2 + 18x - 10y + 14 = 180
Subtraindo 180 de ambos os lados:
9x^2 + 5y^2 + 18x - 10y - 166 = 0
Essa é a forma geral da equação da elipse.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, identificamos o centro , o semi-eixo maior (ao longo do eixo y) e o semi-eixo menor (ao longo do eixo x). Isso significa que a elipse se estende 6 unidades acima e abaixo do centro, e cerca de 4.47 unidades para os lados.

Resposta

A equação geral da elipse é e seu gráfico é uma elipse centrada em com semi-eixo maior de 6 unidades no eixo y e semi-eixo menor de aproximadamente 4,47 unidades no eixo x.

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