Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cônicas! A questão pede para determinar a equação geral e esboçar o gráfico da cônica dada pela equação
. A matéria envolvida aqui é a Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das círculos e elipses. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os elementos de uma elipse e transformar a equação dada na sua forma geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer o tipo de cônica que temos. A equação está na forma:
Essa é a forma padrão de uma elipse, onde
é o centro,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Identificando os valores na nossa equação:
Temos:
-
(porque ) -
-
então -
então
Passo 4
Agora, vamos transformar a equação para a forma geral. Primeiro, expandimos os quadrados:
Substituindo na equação original:
Passo 5
Multiplicamos todos os termos por 180 (o mínimo múltiplo comum de 20 e 36) para eliminar os denominadores:
Distribuindo:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Subtraindo 180 de ambos os lados:
Essa é a forma geral da equação da elipse.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, identificamos o centro
, o semi-eixo maior
(ao longo do eixo y) e o semi-eixo menor
(ao longo do eixo x). Isso significa que a elipse se estende 6 unidades acima e abaixo do centro, e cerca de 4.47 unidades para os lados.
Resposta
A equação geral da elipse é
e seu gráfico é uma elipse centrada em
com semi-eixo maior de 6 unidades no eixo y e semi-eixo menor de aproximadamente 4,47 unidades no eixo x.