Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
(y-3)^2=10(x-9);

Passo 1

O enunciado dá a parábola (y-3)^2 = 10(x-9). Estamos estudando parábolas no plano cartesiano, mais especificamente a forma canônica (y-k)^2 = 4p(x-h). Precisamos achar a forma geral da equação, identificar elementos como vértice, foco, diretriz e eixo de simetria, e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para obter a forma geral, expandimos o lado esquerdo e trazemos tudo para um lado. Temos:
(y-3)^2 = y^2 - 6y + 9
e
10(x-9) = 10x - 90
Igualando e rearranjando:
y^2 - 6y + 9 = 10x - 90
y^2 - 6y - 10x + 99 = 0 .

Passo 3

Agora identificamos h, k e p comparando com (y-k)^2 = 4p(x-h). Aqui h = 9, k = 3 e 4p = 10, logo p = 2,5. Em parábolas desse tipo, o vértice é (h,k), o foco fica a uma distância p do vértice no sentido de abertura e a diretriz é a reta perpendicular passando a p do vértice no sentido oposto.

Passo 4

Calculando cada elemento: vértice em (9,3), abre para a direita (pois p > 0). O foco é
(h+p, k) = (9 + 2,5, 3) = (11,5, 3)
e a diretriz é a reta vertical
x = h - p = 9 - 2,5 = 6,5
O eixo de simetria é a reta y = k, ou seja y = 3.

Passo 5

No esboço, marcamos o vértice (9,3), o foco (11,5,3), a diretriz x = 6,5 e desenhamos a parábola abrindo para a direita em torno do eixo y = 3.

Resposta

Equação geral: y^2 - 6y - 10x + 99 = 0. Vértice: (9,3). Foco: (11,5,3). Diretriz: x = 6,5. Eixo de simetria: y = 3. A parábola abre para a direita.

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